Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77541 / 58131
↖ ↑ ↗
← N 19.924295°
E 32.972717°		 ← 287.14 m → N 19.924295°
E 32.975464°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.921713°
E 32.972717°		 ← 287.15 m →
82 452 m²		 N 19.921713°
E 32.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591594696044922 y=0.443508148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591594696044922 × 217)
    floor (0.591594696044922 × 131072)
    floor (77541.5)     		tx = 77541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443508148193359 × 217)
    floor (0.443508148193359 × 131072)
    floor (58131.5)     		ty = 58131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77541 / 58131 ti = "17/77541/58131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77541/58131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77541 ÷ 217
    77541 ÷ 131072     		x = 0.591590881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58131 ÷ 217
    58131 ÷ 131072     		y = 0.443504333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591590881347656 × 2 - 1) × π
    0.183181762695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57548248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443504333496094 × 2 - 1) × π
    0.112991333007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.354972741686516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57548248} λ = 0.57548248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354972741686516))-π/2
    2×atan(1.42614177953195)-π/2
    2×0.959270437404803-π/2
    1.91854087480961-1.57079632675     		φ = 0.34774455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57548248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.972717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34774455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.924295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77541 KachelY 58131 0.57548248 0.34774455 32.972717 19.924295
    Oben rechts KachelX + 1 77542 KachelY 58131 0.57553042 0.34774455 32.975464 19.924295
    Unten links KachelX 77541 KachelY + 1 58132 0.57548248 0.34769948 32.972717 19.921713
    Unten rechts KachelX + 1 77542 KachelY + 1 58132 0.57553042 0.34769948 32.975464 19.921713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34774455-0.34769948) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dl = 287.140969999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34774455-0.34769948) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dr = 287.140969999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57548248-0.57553042) × cos(0.34774455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940143711732317 × 6371000     		do = 287.144088862001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57548248-0.57553042) × cos(0.34769948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940159069652229 × 6371000     		du = 287.148779566055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34774455)-sin(0.34769948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940143711732317-0.940159069652229)×R²
    abs(0.57553042-0.57548248)×1.5357919911918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5357919911918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5357919911918e-05×40589641000000     		ar = 82451.5056661239m²