Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77541 / 56971
↖ ↑ ↗
← N 22.890092°
E 32.972717°		 ← 281.37 m → N 22.890092°
E 32.975464°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.887562°
E 32.972717°		 ← 281.38 m →
79 164 m²		 N 22.887562°
E 32.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591594696044922 y=0.434658050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591594696044922 × 217)
    floor (0.591594696044922 × 131072)
    floor (77541.5)     		tx = 77541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434658050537109 × 217)
    floor (0.434658050537109 × 131072)
    floor (56971.5)     		ty = 56971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77541 / 56971 ti = "17/77541/56971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77541/56971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77541 ÷ 217
    77541 ÷ 131072     		x = 0.591590881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56971 ÷ 217
    56971 ÷ 131072     		y = 0.434654235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591590881347656 × 2 - 1) × π
    0.183181762695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57548248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434654235839844 × 2 - 1) × π
    0.130691528320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.410579545245781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57548248} λ = 0.57548248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410579545245781))-π/2
    2×atan(1.50769130729484)-π/2
    2×0.985151903801399-π/2
    1.9703038076028-1.57079632675     		φ = 0.39950748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57548248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.972717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39950748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.890092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77541 KachelY 56971 0.57548248 0.39950748 32.972717 22.890092
    Oben rechts KachelX + 1 77542 KachelY 56971 0.57553042 0.39950748 32.975464 22.890092
    Unten links KachelX 77541 KachelY + 1 56972 0.57548248 0.39946332 32.972717 22.887562
    Unten rechts KachelX + 1 77542 KachelY + 1 56972 0.57553042 0.39946332 32.975464 22.887562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39950748-0.39946332) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dl = 281.343360000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39950748-0.39946332) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dr = 281.343360000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57548248-0.57553042) × cos(0.39950748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921252678603464 × 6371000     		do = 281.374281089261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57548248-0.57553042) × cos(0.39946332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921269854384315 × 6371000     		du = 281.379527014837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39950748)-sin(0.39946332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921252678603464-0.921269854384315)×R²
    abs(0.57553042-0.57548248)×1.71757808509199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71757808509199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71757808509199e-05×40589641000000     		ar = 79163.5236253113m²