Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77540 / 58148
↖ ↑ ↗
← N 19.880392°
E 32.969971°		 ← 287.22 m → N 19.880392°
E 32.972717°		 →
↑
287.20 m
↓
↑
287.20 m
↓
N 19.877809°
E 32.969971°		 ← 287.23 m →
82 493 m²		 N 19.877809°
E 32.972717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591587066650391 y=0.443637847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591587066650391 × 217)
    floor (0.591587066650391 × 131072)
    floor (77540.5)     		tx = 77540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443637847900391 × 217)
    floor (0.443637847900391 × 131072)
    floor (58148.5)     		ty = 58148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77540 / 58148 ti = "17/77540/58148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77540/58148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77540 ÷ 217
    77540 ÷ 131072     		x = 0.591583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58148 ÷ 217
    58148 ÷ 131072     		y = 0.443634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591583251953125 × 2 - 1) × π
    0.18316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57543454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443634033203125 × 2 - 1) × π
    0.11273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.354157814392975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57543454} λ = 0.57543454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354157814392975))-π/2
    2×atan(1.42498005109775)-π/2
    2×0.958887309860128-π/2
    1.91777461972026-1.57079632675     		φ = 0.34697829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57543454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34697829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.880392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77540 KachelY 58148 0.57543454 0.34697829 32.969971 19.880392
    Oben rechts KachelX + 1 77541 KachelY 58148 0.57548248 0.34697829 32.972717 19.880392
    Unten links KachelX 77540 KachelY + 1 58149 0.57543454 0.34693321 32.969971 19.877809
    Unten rechts KachelX + 1 77541 KachelY + 1 58149 0.57548248 0.34693321 32.972717 19.877809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34697829-0.34693321) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dl = 287.204680000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34697829-0.34693321) × R
    4.50800000000307e-05 × 6371000     		dr = 287.204680000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57543454-0.57548248) × cos(0.34697829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940404560427699 × 6371000     		do = 287.223758767816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57543454-0.57548248) × cos(0.34693321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940419889274813 × 6371000     		du = 287.228440592289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34697829)-sin(0.34693321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940404560427699-0.940419889274813)×R²
    abs(0.57548248-0.57543454)×1.53288471135271e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53288471135271e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53288471135271e-05×40589641000000     		ar = 82492.6800602792m²