Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77540 / 58020
↖ ↑ ↗
← N 20.210657°
E 32.969971°		 ← 286.62 m → N 20.210657°
E 32.972717°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.208079°
E 32.969971°		 ← 286.63 m →
82 155 m²		 N 20.208079°
E 32.972717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591587066650391 y=0.442661285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591587066650391 × 217)
    floor (0.591587066650391 × 131072)
    floor (77540.5)     		tx = 77540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442661285400391 × 217)
    floor (0.442661285400391 × 131072)
    floor (58020.5)     		ty = 58020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77540 / 58020 ti = "17/77540/58020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77540/58020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77540 ÷ 217
    77540 ÷ 131072     		x = 0.591583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58020 ÷ 217
    58020 ÷ 131072     		y = 0.442657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591583251953125 × 2 - 1) × π
    0.18316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57543454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442657470703125 × 2 - 1) × π
    0.11468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360293737544342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57543454} λ = 0.57543454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360293737544342))-π/2
    2×atan(1.43375049906394)-π/2
    2×0.9617694110329-π/2
    1.9235388220658-1.57079632675     		φ = 0.35274250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57543454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35274250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.210657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77540 KachelY 58020 0.57543454 0.35274250 32.969971 20.210657
    Oben rechts KachelX + 1 77541 KachelY 58020 0.57548248 0.35274250 32.972717 20.210657
    Unten links KachelX 77540 KachelY + 1 58021 0.57543454 0.35269751 32.969971 20.208079
    Unten rechts KachelX + 1 77541 KachelY + 1 58021 0.57548248 0.35269751 32.972717 20.208079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35274250-0.35269751) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dl = 286.631290000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35274250-0.35269751) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dr = 286.631290000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57543454-0.57548248) × cos(0.35274250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938428784136554 × 6371000     		do = 286.620305832019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57543454-0.57548248) × cos(0.35269751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938444326005581 × 6371000     		du = 286.625052718868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35274250)-sin(0.35269751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938428784136554-0.938444326005581)×R²
    abs(0.57548248-0.57543454)×1.55418690270803e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55418690270803e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55418690270803e-05×40589641000000     		ar = 82155.0283178661m²