Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77540 / 56970
↖ ↑ ↗
← N 22.892623°
E 32.969971°		 ← 281.37 m → N 22.892623°
E 32.972717°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.890092°
E 32.969971°		 ← 281.37 m →
79 162 m²		 N 22.890092°
E 32.972717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591587066650391 y=0.434650421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591587066650391 × 217)
    floor (0.591587066650391 × 131072)
    floor (77540.5)     		tx = 77540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434650421142578 × 217)
    floor (0.434650421142578 × 131072)
    floor (56970.5)     		ty = 56970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77540 / 56970 ti = "17/77540/56970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77540/56970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77540 ÷ 217
    77540 ÷ 131072     		x = 0.591583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56970 ÷ 217
    56970 ÷ 131072     		y = 0.434646606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591583251953125 × 2 - 1) × π
    0.18316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57543454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434646606445312 × 2 - 1) × π
    0.130706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.410627482145401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57543454} λ = 0.57543454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410627482145401))-π/2
    2×atan(1.50776358307402)-π/2
    2×0.985173984594116-π/2
    1.97034796918823-1.57079632675     		φ = 0.39955164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57543454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39955164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.892623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77540 KachelY 56970 0.57543454 0.39955164 32.969971 22.892623
    Oben rechts KachelX + 1 77541 KachelY 56970 0.57548248 0.39955164 32.972717 22.892623
    Unten links KachelX 77540 KachelY + 1 56971 0.57543454 0.39950748 32.969971 22.890092
    Unten rechts KachelX + 1 77541 KachelY + 1 56971 0.57548248 0.39950748 32.972717 22.890092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39955164-0.39950748) × R
    4.41599999999598e-05 × 6371000     		dl = 281.343359999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39955164-0.39950748) × R
    4.41599999999598e-05 × 6371000     		dr = 281.343359999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57543454-0.57548248) × cos(0.39955164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921235501026073 × 6371000     		do = 281.369034614975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57543454-0.57548248) × cos(0.39950748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921252678603464 × 6371000     		du = 281.374281089261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39955164)-sin(0.39950748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921235501026073-0.921252678603464)×R²
    abs(0.57548248-0.57543454)×1.71775773910587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71775773910587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71775773910587e-05×40589641000000     		ar = 79162.0476416105m²