Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7754 / 4946
↖ ↑ ↗
← N 57.868132°
W  9.624024°		 ← 1 299.51 m → N 57.868132°
W  9.602051°		 →
↑
1 299.68 m
↓
↑
1 299.68 m
↓
N 57.856443°
W  9.624024°		 ← 1 299.93 m →
1 689 221 m²		 N 57.856443°
W  9.602051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473297119140625 y=0.301910400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473297119140625 × 214)
    floor (0.473297119140625 × 16384)
    floor (7754.5)     		tx = 7754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301910400390625 × 214)
    floor (0.301910400390625 × 16384)
    floor (4946.5)     		ty = 4946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7754 / 4946 ti = "14/7754/4946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7754/4946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7754 ÷ 214
    7754 ÷ 16384     		x = 0.4732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4946 ÷ 214
    4946 ÷ 16384     		y = 0.3018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16797090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3018798828125 × 2 - 1) × π
    0.396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24482540933362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16797090} λ = -0.16797090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24482540933362))-π/2
    2×atan(3.47232851026366)-π/2
    2×1.29039287901199-π/2
    2.58078575802397-1.57079632675     		φ = 1.00998943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16797090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.624024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00998943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.868132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7754 KachelY 4946 -0.16797090 1.00998943 -9.624024 57.868132
    Oben rechts KachelX + 1 7755 KachelY 4946 -0.16758740 1.00998943 -9.602051 57.868132
    Unten links KachelX 7754 KachelY + 1 4947 -0.16797090 1.00978543 -9.624024 57.856443
    Unten rechts KachelX + 1 7755 KachelY + 1 4947 -0.16758740 1.00978543 -9.602051 57.856443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00998943-1.00978543) × R
    0.000204000000000093 × 6371000     		dl = 1299.68400000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00998943-1.00978543) × R
    0.000204000000000093 × 6371000     		dr = 1299.68400000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16797090--0.16758740) × cos(1.00998943) × R
    0.000383500000000009 × 0.531869672357242 × 6371000     		do = 1299.50573527252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16797090--0.16758740) × cos(1.00978543) × R
    0.000383500000000009 × 0.532042413838351 × 6371000     		du = 1299.92779081938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00998943)-sin(1.00978543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531869672357242-0.532042413838351)×R²
    abs(-0.16758740--0.16797090)×0.000172741481109573×R²
    0.000383500000000009×0.000172741481109573×6371000²
    0.000383500000000009×0.000172741481109573×40589641000000     		ar = 1689221.08732139m²