Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77539 / 57889
↖ ↑ ↗
← N 20.547937°
E 32.967224°		 ← 285.93 m → N 20.547937°
E 32.969971°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
N 20.545365°
E 32.967224°		 ← 285.94 m →
81 776 m²		 N 20.545365°
E 32.969971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591579437255859 y=0.441661834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591579437255859 × 217)
    floor (0.591579437255859 × 131072)
    floor (77539.5)     		tx = 77539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441661834716797 × 217)
    floor (0.441661834716797 × 131072)
    floor (57889.5)     		ty = 57889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77539 / 57889 ti = "17/77539/57889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77539/57889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77539 ÷ 217
    77539 ÷ 131072     		x = 0.591575622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57889 ÷ 217
    57889 ÷ 131072     		y = 0.441658020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591575622558594 × 2 - 1) × π
    0.183151245117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.57538661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441658020019531 × 2 - 1) × π
    0.116683959960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.366573471394569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57538661} λ = 0.57538661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366573471394569))-π/2
    2×atan(1.44278239989127)-π/2
    2×0.964712741613769-π/2
    1.92942548322754-1.57079632675     		φ = 0.35862916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57538661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.967224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35862916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.547937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77539 KachelY 57889 0.57538661 0.35862916 32.967224 20.547937
    Oben rechts KachelX + 1 77540 KachelY 57889 0.57543454 0.35862916 32.969971 20.547937
    Unten links KachelX 77539 KachelY + 1 57890 0.57538661 0.35858427 32.967224 20.545365
    Unten rechts KachelX + 1 77540 KachelY + 1 57890 0.57543454 0.35858427 32.969971 20.545365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35862916-0.35858427) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dl = 285.994190000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35862916-0.35858427) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dr = 285.994190000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57538661-0.57543454) × cos(0.35862916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936378855767033 × 6371000     		do = 285.934548246273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57538661-0.57543454) × cos(0.35858427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936394610806775 × 6371000     		du = 285.939359237192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35862916)-sin(0.35858427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936378855767033-0.936394610806775)×R²
    abs(0.57543454-0.57538661)×1.57550397419381e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57550397419381e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57550397419381e-05×40589641000000     		ar = 81776.3074902536m²