Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77539 / 57325
↖ ↑ ↗
← N 21.991442°
E 32.967224°		 ← 283.14 m → N 21.991442°
E 32.969971°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
N 21.988895°
E 32.967224°		 ← 283.15 m →
80 184 m²		 N 21.988895°
E 32.969971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591579437255859 y=0.437358856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591579437255859 × 217)
    floor (0.591579437255859 × 131072)
    floor (77539.5)     		tx = 77539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437358856201172 × 217)
    floor (0.437358856201172 × 131072)
    floor (57325.5)     		ty = 57325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77539 / 57325 ti = "17/77539/57325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77539/57325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77539 ÷ 217
    77539 ÷ 131072     		x = 0.591575622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57325 ÷ 217
    57325 ÷ 131072     		y = 0.437355041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591575622558594 × 2 - 1) × π
    0.183151245117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.57538661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437355041503906 × 2 - 1) × π
    0.125289916992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.393609882780281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57538661} λ = 0.57538661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393609882780281))-π/2
    2×atan(1.4823221564633)-π/2
    2×0.977309697108031-π/2
    1.95461939421606-1.57079632675     		φ = 0.38382307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57538661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.967224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38382307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.991442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77539 KachelY 57325 0.57538661 0.38382307 32.967224 21.991442
    Oben rechts KachelX + 1 77540 KachelY 57325 0.57543454 0.38382307 32.969971 21.991442
    Unten links KachelX 77539 KachelY + 1 57326 0.57538661 0.38377862 32.967224 21.988895
    Unten rechts KachelX + 1 77540 KachelY + 1 57326 0.57543454 0.38377862 32.969971 21.988895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38382307-0.38377862) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dl = 283.190949999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38382307-0.38377862) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dr = 283.190949999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57538661-0.57543454) × cos(0.38382307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927239797502013 × 6371000     		do = 283.143826862177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57538661-0.57543454) × cos(0.38377862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927256441693032 × 6371000     		du = 283.148909366134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38382307)-sin(0.38377862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927239797502013-0.927256441693032)×R²
    abs(0.57543454-0.57538661)×1.66441910188775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66441910188775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66441910188775e-05×40589641000000     		ar = 80184.4889884822m²