Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77539 / 56979
↖ ↑ ↗
← N 22.869849°
E 32.967224°		 ← 281.36 m → N 22.869849°
E 32.969971°		 →
↑
281.41 m
↓
↑
281.41 m
↓
N 22.867318°
E 32.967224°		 ← 281.36 m →
79 177 m²		 N 22.867318°
E 32.969971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591579437255859 y=0.434719085693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591579437255859 × 217)
    floor (0.591579437255859 × 131072)
    floor (77539.5)     		tx = 77539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434719085693359 × 217)
    floor (0.434719085693359 × 131072)
    floor (56979.5)     		ty = 56979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77539 / 56979 ti = "17/77539/56979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77539/56979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77539 ÷ 217
    77539 ÷ 131072     		x = 0.591575622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56979 ÷ 217
    56979 ÷ 131072     		y = 0.434715270996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591575622558594 × 2 - 1) × π
    0.183151245117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.57538661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434715270996094 × 2 - 1) × π
    0.130569458007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.41019605004882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57538661} λ = 0.57538661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41019605004882))-π/2
    2×atan(1.50711322577282)-π/2
    2×0.98497524264082-π/2
    1.96995048528164-1.57079632675     		φ = 0.39915416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57538661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.967224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39915416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.869849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77539 KachelY 56979 0.57538661 0.39915416 32.967224 22.869849
    Oben rechts KachelX + 1 77540 KachelY 56979 0.57543454 0.39915416 32.969971 22.869849
    Unten links KachelX 77539 KachelY + 1 56980 0.57538661 0.39910999 32.967224 22.867318
    Unten rechts KachelX + 1 77540 KachelY + 1 56980 0.57543454 0.39910999 32.969971 22.867318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39915416-0.39910999) × R
    4.41699999999545e-05 × 6371000     		dl = 281.40706999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39915416-0.39910999) × R
    4.41699999999545e-05 × 6371000     		dr = 281.40706999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57538661-0.57543454) × cos(0.39915416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921390050089905 × 6371000     		do = 281.357536117427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57538661-0.57543454) × cos(0.39910999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921407215381587 × 6371000     		du = 281.362777745741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39915416)-sin(0.39910999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921390050089905-0.921407215381587)×R²
    abs(0.57543454-0.57538661)×1.71652916821641e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71652916821641e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71652916821641e-05×40589641000000     		ar = 79176.7373895931m²