Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77538 / 57890
↖ ↑ ↗
← N 20.545365°
E 32.964478°		 ← 286 m → N 20.545365°
E 32.967224°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
N 20.542793°
E 32.964478°		 ← 286 m →
81 795 m²		 N 20.542793°
E 32.967224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591571807861328 y=0.441669464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591571807861328 × 217)
    floor (0.591571807861328 × 131072)
    floor (77538.5)     		tx = 77538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441669464111328 × 217)
    floor (0.441669464111328 × 131072)
    floor (57890.5)     		ty = 57890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77538 / 57890 ti = "17/77538/57890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77538/57890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77538 ÷ 217
    77538 ÷ 131072     		x = 0.591567993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57890 ÷ 217
    57890 ÷ 131072     		y = 0.441665649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591567993164062 × 2 - 1) × π
    0.183135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57533867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441665649414062 × 2 - 1) × π
    0.116668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.366525534494949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57533867} λ = 0.57533867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366525534494949))-π/2
    2×atan(1.44271323903388)-π/2
    2×0.964690297875326-π/2
    1.92938059575065-1.57079632675     		φ = 0.35858427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57533867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.964478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35858427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.545365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77538 KachelY 57890 0.57533867 0.35858427 32.964478 20.545365
    Oben rechts KachelX + 1 77539 KachelY 57890 0.57538661 0.35858427 32.967224 20.545365
    Unten links KachelX 77538 KachelY + 1 57891 0.57533867 0.35853938 32.964478 20.542793
    Unten rechts KachelX + 1 77539 KachelY + 1 57891 0.57538661 0.35853938 32.967224 20.542793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35858427-0.35853938) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dl = 285.994189999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35858427-0.35853938) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dr = 285.994189999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57533867-0.57538661) × cos(0.35858427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936394610806775 × 6371000     		do = 285.999016937484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57533867-0.57538661) × cos(0.35853938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936410363959576 × 6371000     		du = 286.003828355835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35858427)-sin(0.35853938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936394610806775-0.936410363959576)×R²
    abs(0.57538661-0.57533867)×1.57531528016674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57531528016674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57531528016674e-05×40589641000000     		ar = 81794.7452223376m²