Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77536 / 57630
↖ ↑ ↗
← N 21.212580°
E 32.958985°		 ← 284.67 m → N 21.212580°
E 32.961731°		 →
↑
284.72 m
↓
↑
284.72 m
↓
N 21.210019°
E 32.958985°		 ← 284.68 m →
81 053 m²		 N 21.210019°
E 32.961731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591556549072266 y=0.439685821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591556549072266 × 217)
    floor (0.591556549072266 × 131072)
    floor (77536.5)     		tx = 77536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439685821533203 × 217)
    floor (0.439685821533203 × 131072)
    floor (57630.5)     		ty = 57630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77536 / 57630 ti = "17/77536/57630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77536/57630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77536 ÷ 217
    77536 ÷ 131072     		x = 0.591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57630 ÷ 217
    57630 ÷ 131072     		y = 0.439682006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    0.18310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57524280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439682006835938 × 2 - 1) × π
    0.120635986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.378989128396164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57524280} λ = 0.57524280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378989128396164))-π/2
    2×atan(1.46080715434044)-π/2
    2×0.970512843486656-π/2
    1.94102568697331-1.57079632675     		φ = 0.37022936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57524280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.958985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37022936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.212580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77536 KachelY 57630 0.57524280 0.37022936 32.958985 21.212580
    Oben rechts KachelX + 1 77537 KachelY 57630 0.57529073 0.37022936 32.961731 21.212580
    Unten links KachelX 77536 KachelY + 1 57631 0.57524280 0.37018467 32.958985 21.210019
    Unten rechts KachelX + 1 77537 KachelY + 1 57631 0.57529073 0.37018467 32.961731 21.210019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37022936-0.37018467) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dl = 284.719990000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37022936-0.37018467) × R
    4.46900000000139e-05 × 6371000     		dr = 284.719990000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57524280-0.57529073) × cos(0.37022936) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.932244380968276 × 6371000     		do = 284.672036628081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57524280-0.57529073) × cos(0.37018467) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.932260550187009 × 6371000     		du = 284.676974093537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37022936)-sin(0.37018467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932244380968276-0.932260550187009)×R²
    abs(0.57529073-0.57524280)×1.61692187335971e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.61692187335971e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.61692187335971e-05×40589641000000     		ar = 81052.5223330673m²