Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77535 / 58011
↖ ↑ ↗
← N 20.233852°
E 32.956238°		 ← 286.58 m → N 20.233852°
E 32.958985°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 20.231274°
E 32.956238°		 ← 286.58 m →
82 125 m²		 N 20.231274°
E 32.958985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591548919677734 y=0.442592620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591548919677734 × 217)
    floor (0.591548919677734 × 131072)
    floor (77535.5)     		tx = 77535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442592620849609 × 217)
    floor (0.442592620849609 × 131072)
    floor (58011.5)     		ty = 58011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77535 / 58011 ti = "17/77535/58011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77535/58011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77535 ÷ 217
    77535 ÷ 131072     		x = 0.591545104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58011 ÷ 217
    58011 ÷ 131072     		y = 0.442588806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591545104980469 × 2 - 1) × π
    0.183090209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57519486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442588806152344 × 2 - 1) × π
    0.114822387695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.360725169640923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57519486} λ = 0.57519486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360725169640923))-π/2
    2×atan(1.43436919850153)-π/2
    2×0.961971830091183-π/2
    1.92394366018237-1.57079632675     		φ = 0.35314733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57519486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.956238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35314733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.233852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77535 KachelY 58011 0.57519486 0.35314733 32.956238 20.233852
    Oben rechts KachelX + 1 77536 KachelY 58011 0.57524280 0.35314733 32.958985 20.233852
    Unten links KachelX 77535 KachelY + 1 58012 0.57519486 0.35310235 32.956238 20.231274
    Unten rechts KachelX + 1 77536 KachelY + 1 58012 0.57524280 0.35310235 32.958985 20.231274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35314733-0.35310235) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dl = 286.567579999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35314733-0.35310235) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dr = 286.567579999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57519486-0.57524280) × cos(0.35314733) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938288849510978 × 6371000     		do = 286.577566196115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57519486-0.57524280) × cos(0.35310235) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938304405012655 × 6371000     		du = 286.582317246725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35314733)-sin(0.35310235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938288849510978-0.938304405012655)×R²
    abs(0.57524280-0.57519486)×1.55555016770892e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.55555016770892e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.55555016770892e-05×40589641000000     		ar = 82124.5203894094m²