Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77534 / 57446
↖ ↑ ↗
← N 21.682953°
E 32.953491°		 ← 283.81 m → N 21.682953°
E 32.956238°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
N 21.680400°
E 32.953491°		 ← 283.82 m →
80 555 m²		 N 21.680400°
E 32.956238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591541290283203 y=0.438282012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591541290283203 × 217)
    floor (0.591541290283203 × 131072)
    floor (77534.5)     		tx = 77534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438282012939453 × 217)
    floor (0.438282012939453 × 131072)
    floor (57446.5)     		ty = 57446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77534 / 57446 ti = "17/77534/57446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77534/57446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77534 ÷ 217
    77534 ÷ 131072     		x = 0.591537475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57446 ÷ 217
    57446 ÷ 131072     		y = 0.438278198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591537475585938 × 2 - 1) × π
    0.183074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57514692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438278198242188 × 2 - 1) × π
    0.123443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.387809517926254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57514692} λ = 0.57514692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387809517926254))-π/2
    2×atan(1.47374903477779)-π/2
    2×0.974617622920966-π/2
    1.94923524584193-1.57079632675     		φ = 0.37843892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57514692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.953491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37843892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.682953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77534 KachelY 57446 0.57514692 0.37843892 32.953491 21.682953
    Oben rechts KachelX + 1 77535 KachelY 57446 0.57519486 0.37843892 32.956238 21.682953
    Unten links KachelX 77534 KachelY + 1 57447 0.57514692 0.37839437 32.953491 21.680400
    Unten rechts KachelX + 1 77535 KachelY + 1 57447 0.57519486 0.37839437 32.956238 21.680400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37843892-0.37839437) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37843892-0.37839437) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57514692-0.57519486) × cos(0.37843892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929242540303664 × 6371000     		do = 283.81459051154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57514692-0.57519486) × cos(0.37839437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929258999283311 × 6371000     		du = 283.819617507579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37843892)-sin(0.37839437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929242540303664-0.929258999283311)×R²
    abs(0.57519486-0.57514692)×1.64589796467496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64589796467496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64589796467496e-05×40589641000000     		ar = 80555.255201011m²