Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77533 / 60188
↖ ↑ ↗
← N 14.530415°
E 32.950744°		 ← 295.66 m → N 14.530415°
E 32.953491°		 →
↑
295.68 m
↓
↑
295.68 m
↓
N 14.527756°
E 32.950744°		 ← 295.66 m →
87 420 m²		 N 14.527756°
E 32.953491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591533660888672 y=0.459201812744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591533660888672 × 217)
    floor (0.591533660888672 × 131072)
    floor (77533.5)     		tx = 77533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459201812744141 × 217)
    floor (0.459201812744141 × 131072)
    floor (60188.5)     		ty = 60188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77533 / 60188 ti = "17/77533/60188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77533/60188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77533 ÷ 217
    77533 ÷ 131072     		x = 0.591529846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60188 ÷ 217
    60188 ÷ 131072     		y = 0.459197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591529846191406 × 2 - 1) × π
    0.183059692382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57509898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459197998046875 × 2 - 1) × π
    0.08160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.25636653916806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57509898} λ = 0.57509898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.25636653916806))-π/2
    2×atan(1.29222629269466)-π/2
    2×0.912199957099227-π/2
    1.82439991419845-1.57079632675     		φ = 0.25360359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57509898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.950744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25360359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.530415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77533 KachelY 60188 0.57509898 0.25360359 32.950744 14.530415
    Oben rechts KachelX + 1 77534 KachelY 60188 0.57514692 0.25360359 32.953491 14.530415
    Unten links KachelX 77533 KachelY + 1 60189 0.57509898 0.25355718 32.950744 14.527756
    Unten rechts KachelX + 1 77534 KachelY + 1 60189 0.57514692 0.25355718 32.953491 14.527756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25360359-0.25355718) × R
    4.64099999999967e-05 × 6371000     		dl = 295.678109999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25360359-0.25355718) × R
    4.64099999999967e-05 × 6371000     		dr = 295.678109999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57509898-0.57514692) × cos(0.25360359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968014590132535 × 6371000     		do = 295.656572521832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57509898-0.57514692) × cos(0.25355718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968026233076324 × 6371000     		du = 295.660128576555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25360359)-sin(0.25355718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968014590132535-0.968026233076324)×R²
    abs(0.57514692-0.57509898)×1.16429437888588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16429437888588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16429437888588e-05×40589641000000     		ar = 87419.7023118184m²