Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77531 / 58012
↖ ↑ ↗
← N 20.231274°
E 32.945251°		 ← 286.58 m → N 20.231274°
E 32.947998°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 20.228697°
E 32.945251°		 ← 286.59 m →
82 126 m²		 N 20.228697°
E 32.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591518402099609 y=0.442600250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591518402099609 × 217)
    floor (0.591518402099609 × 131072)
    floor (77531.5)     		tx = 77531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442600250244141 × 217)
    floor (0.442600250244141 × 131072)
    floor (58012.5)     		ty = 58012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77531 / 58012 ti = "17/77531/58012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77531/58012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77531 ÷ 217
    77531 ÷ 131072     		x = 0.591514587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58012 ÷ 217
    58012 ÷ 131072     		y = 0.442596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591514587402344 × 2 - 1) × π
    0.183029174804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57500311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442596435546875 × 2 - 1) × π
    0.11480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.360677232741302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57500311} λ = 0.57500311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360677232741302))-π/2
    2×atan(1.43430044093727)-π/2
    2×0.961949340575594-π/2
    1.92389868115119-1.57079632675     		φ = 0.35310235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57500311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.945251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35310235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.231274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77531 KachelY 58012 0.57500311 0.35310235 32.945251 20.231274
    Oben rechts KachelX + 1 77532 KachelY 58012 0.57505105 0.35310235 32.947998 20.231274
    Unten links KachelX 77531 KachelY + 1 58013 0.57500311 0.35305737 32.945251 20.228697
    Unten rechts KachelX + 1 77532 KachelY + 1 58013 0.57505105 0.35305737 32.947998 20.228697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35310235-0.35305737) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dl = 286.567580000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35310235-0.35305737) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dr = 286.567580000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57500311-0.57505105) × cos(0.35310235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938304405012655 × 6371000     		do = 286.582317246062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57500311-0.57505105) × cos(0.35305737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938319958615954 × 6371000     		du = 286.587067716859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35310235)-sin(0.35305737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938304405012655-0.938319958615954)×R²
    abs(0.57505105-0.57500311)×1.55536032993009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55536032993009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55536032993009e-05×40589641000000     		ar = 82125.8818033573m²