Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77530 / 60162
↖ ↑ ↗
← N 14.599531°
E 32.942505°		 ← 295.56 m → N 14.599531°
E 32.945251°		 →
↑
295.55 m
↓
↑
295.55 m
↓
N 14.596873°
E 32.942505°		 ← 295.57 m →
87 355 m²		 N 14.596873°
E 32.945251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591510772705078 y=0.459003448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591510772705078 × 217)
    floor (0.591510772705078 × 131072)
    floor (77530.5)     		tx = 77530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459003448486328 × 217)
    floor (0.459003448486328 × 131072)
    floor (60162.5)     		ty = 60162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77530 / 60162 ti = "17/77530/60162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77530/60162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77530 ÷ 217
    77530 ÷ 131072     		x = 0.591506958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60162 ÷ 217
    60162 ÷ 131072     		y = 0.458999633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591506958007812 × 2 - 1) × π
    0.183013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57495517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458999633789062 × 2 - 1) × π
    0.082000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.257612898558182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57495517} λ = 0.57495517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257612898558182))-π/2
    2×atan(1.29383787516557)-π/2
    2×0.91280310968139-π/2
    1.82560621936278-1.57079632675     		φ = 0.25480989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57495517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.942505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25480989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.599531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77530 KachelY 60162 0.57495517 0.25480989 32.942505 14.599531
    Oben rechts KachelX + 1 77531 KachelY 60162 0.57500311 0.25480989 32.945251 14.599531
    Unten links KachelX 77530 KachelY + 1 60163 0.57495517 0.25476350 32.942505 14.596873
    Unten rechts KachelX + 1 77531 KachelY + 1 60163 0.57500311 0.25476350 32.945251 14.596873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25480989-0.25476350) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dl = 295.550690000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25480989-0.25476350) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dr = 295.550690000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57495517-0.57500311) × cos(0.25480989) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.96771123257637 × 6371000     		do = 295.56391931644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57495517-0.57500311) × cos(0.25476350) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.967722924665369 × 6371000     		du = 295.567490381375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25480989)-sin(0.25476350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96771123257637-0.967722924665369)×R²
    abs(0.57500311-0.57495517)×1.16920889992045e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.16920889992045e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.16920889992045e-05×40589641000000     		ar = 87354.6480240864m²