Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77530 / 58041
↖ ↑ ↗
← N 20.156520°
E 32.942505°		 ← 286.72 m → N 20.156520°
E 32.945251°		 →
↑
286.70 m
↓
↑
286.70 m
↓
N 20.153942°
E 32.942505°		 ← 286.72 m →
82 202 m²		 N 20.153942°
E 32.945251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591510772705078 y=0.442821502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591510772705078 × 217)
    floor (0.591510772705078 × 131072)
    floor (77530.5)     		tx = 77530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442821502685547 × 217)
    floor (0.442821502685547 × 131072)
    floor (58041.5)     		ty = 58041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77530 / 58041 ti = "17/77530/58041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77530/58041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77530 ÷ 217
    77530 ÷ 131072     		x = 0.591506958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58041 ÷ 217
    58041 ÷ 131072     		y = 0.442817687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591506958007812 × 2 - 1) × π
    0.183013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57495517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442817687988281 × 2 - 1) × π
    0.114364624023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.359287062652321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57495517} λ = 0.57495517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359287062652321))-π/2
    2×atan(1.43230790466872)-π/2
    2×0.961296982609365-π/2
    1.92259396521873-1.57079632675     		φ = 0.35179764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57495517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.942505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35179764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.156520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77530 KachelY 58041 0.57495517 0.35179764 32.942505 20.156520
    Oben rechts KachelX + 1 77531 KachelY 58041 0.57500311 0.35179764 32.945251 20.156520
    Unten links KachelX 77530 KachelY + 1 58042 0.57495517 0.35175264 32.942505 20.153942
    Unten rechts KachelX + 1 77531 KachelY + 1 58042 0.57500311 0.35175264 32.945251 20.153942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35179764-0.35175264) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dl = 286.69500000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35179764-0.35175264) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dr = 286.69500000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57495517-0.57500311) × cos(0.35179764) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938754788569225 × 6371000     		do = 286.719875977775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57495517-0.57500311) × cos(0.35175264) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938770293984522 × 6371000     		du = 286.724611730716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35179764)-sin(0.35175264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938754788569225-0.938770293984522)×R²
    abs(0.57500311-0.57495517)×1.55054152967127e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.55054152967127e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.55054152967127e-05×40589641000000     		ar = 82201.833715716m²