Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77530 / 57546
↖ ↑ ↗
← N 21.427504°
E 32.942505°		 ← 284.31 m → N 21.427504°
E 32.945251°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.424947°
E 32.942505°		 ← 284.32 m →
80 842 m²		 N 21.424947°
E 32.945251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591510772705078 y=0.439044952392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591510772705078 × 217)
    floor (0.591510772705078 × 131072)
    floor (77530.5)     		tx = 77530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439044952392578 × 217)
    floor (0.439044952392578 × 131072)
    floor (57546.5)     		ty = 57546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77530 / 57546 ti = "17/77530/57546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77530/57546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77530 ÷ 217
    77530 ÷ 131072     		x = 0.591506958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57546 ÷ 217
    57546 ÷ 131072     		y = 0.439041137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591506958007812 × 2 - 1) × π
    0.183013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57495517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    0.121917724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.383015827964249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57495517} λ = 0.57495517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383015827964249))-π/2
    2×atan(1.46670124477954)-π/2
    2×0.972388406447791-π/2
    1.94477681289558-1.57079632675     		φ = 0.37398049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57495517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.942505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37398049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.427504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77530 KachelY 57546 0.57495517 0.37398049 32.942505 21.427504
    Oben rechts KachelX + 1 77531 KachelY 57546 0.57500311 0.37398049 32.945251 21.427504
    Unten links KachelX 77530 KachelY + 1 57547 0.57495517 0.37393586 32.942505 21.424947
    Unten rechts KachelX + 1 77531 KachelY + 1 57547 0.57500311 0.37393586 32.945251 21.424947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37398049-0.37393586) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37398049-0.37393586) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57495517-0.57500311) × cos(0.37398049) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930880556768687 × 6371000     		do = 284.31488290316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57495517-0.57500311) × cos(0.37393586) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930896860237308 × 6371000     		du = 284.319862402129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37398049)-sin(0.37393586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930880556768687-0.930896860237308)×R²
    abs(0.57500311-0.57495517)×1.63034686212482e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.63034686212482e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.63034686212482e-05×40589641000000     		ar = 80842.1563530696m²