Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7753 / 1622
↖ ↑ ↗
← N 72.945431°
E160.708008°		 ← 1 433.12 m → N 72.945431°
E160.751953°		 →
↑
1 433.67 m
↓
↑
1 433.67 m
↓
N 72.932538°
E160.708008°		 ← 1 434.17 m →
2 055 372 m²		 N 72.932538°
E160.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94647216796875 y=0.19805908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94647216796875 × 213)
    floor (0.94647216796875 × 8192)
    floor (7753.5)     		tx = 7753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19805908203125 × 213)
    floor (0.19805908203125 × 8192)
    floor (1622.5)     		ty = 1622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7753 / 1622 ti = "13/7753/1622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7753/1622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7753 ÷ 213
    7753 ÷ 8192     		x = 0.9464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1622 ÷ 213
    1622 ÷ 8192     		y = 0.197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9464111328125 × 2 - 1) × π
    0.892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80488387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197998046875 × 2 - 1) × π
    0.60400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8975342345603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80488387} λ = 2.80488387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8975342345603))-π/2
    2×atan(6.66942890325111)-π/2
    2×1.42196713727717-π/2
    2.84393427455435-1.57079632675     		φ = 1.27313795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80488387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27313795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.945431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7753 KachelY 1622 2.80488387 1.27313795 160.708008 72.945431
    Oben rechts KachelX + 1 7754 KachelY 1622 2.80565086 1.27313795 160.751953 72.945431
    Unten links KachelX 7753 KachelY + 1 1623 2.80488387 1.27291292 160.708008 72.932538
    Unten rechts KachelX + 1 7754 KachelY + 1 1623 2.80565086 1.27291292 160.751953 72.932538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27313795-1.27291292) × R
    0.000225029999999959 × 6371000     		dl = 1433.66612999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27313795-1.27291292) × R
    0.000225029999999959 × 6371000     		dr = 1433.66612999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80488387-2.80565086) × cos(1.27313795) × R
    0.000766990000000245 × 0.29328236041636 × 6371000     		do = 1433.12228625036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80488387-2.80565086) × cos(1.27291292) × R
    0.000766990000000245 × 0.293497487489552 × 6371000     		du = 1434.17350325001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27313795)-sin(1.27291292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29328236041636-0.293497487489552)×R²
    abs(2.80565086-2.80488387)×0.000215127073192267×R²
    0.000766990000000245×0.000215127073192267×6371000²
    0.000766990000000245×0.000215127073192267×40589641000000     		ar = 2055372.43772423m²