Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77529 / 58103
↖ ↑ ↗
← N 19.996579°
E 32.939758°		 ← 286.95 m → N 19.996579°
E 32.942505°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
N 19.993998°
E 32.939758°		 ← 286.96 m →
82 360 m²		 N 19.993998°
E 32.942505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591503143310547 y=0.443294525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591503143310547 × 217)
    floor (0.591503143310547 × 131072)
    floor (77529.5)     		tx = 77529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443294525146484 × 217)
    floor (0.443294525146484 × 131072)
    floor (58103.5)     		ty = 58103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77529 / 58103 ti = "17/77529/58103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77529/58103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77529 ÷ 217
    77529 ÷ 131072     		x = 0.591499328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58103 ÷ 217
    58103 ÷ 131072     		y = 0.443290710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591499328613281 × 2 - 1) × π
    0.182998657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57490724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443290710449219 × 2 - 1) × π
    0.113418579101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.356314974875877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57490724} λ = 0.57490724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356314974875877))-π/2
    2×atan(1.42805727959748)-π/2
    2×0.959901239007655-π/2
    1.91980247801531-1.57079632675     		φ = 0.34900615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57490724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.939758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34900615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.996579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77529 KachelY 58103 0.57490724 0.34900615 32.939758 19.996579
    Oben rechts KachelX + 1 77530 KachelY 58103 0.57495517 0.34900615 32.942505 19.996579
    Unten links KachelX 77529 KachelY + 1 58104 0.57490724 0.34896110 32.939758 19.993998
    Unten rechts KachelX + 1 77530 KachelY + 1 58104 0.57495517 0.34896110 32.942505 19.993998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34900615-0.34896110) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dl = 287.013549999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34900615-0.34896110) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dr = 287.013549999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57490724-0.57495517) × cos(0.34900615) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939713037850276 × 6371000     		do = 286.952680854938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57490724-0.57495517) × cos(0.34896110) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939728442376819 × 6371000     		du = 286.957384812434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34900615)-sin(0.34896110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939713037850276-0.939728442376819)×R²
    abs(0.57495517-0.57490724)×1.54045265431391e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.54045265431391e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.54045265431391e-05×40589641000000     		ar = 82359.9826778523m²