Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77529 / 58025
↖ ↑ ↗
← N 20.197768°
E 32.939758°		 ← 286.58 m → N 20.197768°
E 32.942505°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.195191°
E 32.939758°		 ← 286.59 m →
82 145 m²		 N 20.195191°
E 32.942505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591503143310547 y=0.442699432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591503143310547 × 217)
    floor (0.591503143310547 × 131072)
    floor (77529.5)     		tx = 77529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442699432373047 × 217)
    floor (0.442699432373047 × 131072)
    floor (58025.5)     		ty = 58025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77529 / 58025 ti = "17/77529/58025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77529/58025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77529 ÷ 217
    77529 ÷ 131072     		x = 0.591499328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58025 ÷ 217
    58025 ÷ 131072     		y = 0.442695617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591499328613281 × 2 - 1) × π
    0.182998657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57490724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442695617675781 × 2 - 1) × π
    0.114608764648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.360054053046242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57490724} λ = 0.57490724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360054053046242))-π/2
    2×atan(1.4334068924754)-π/2
    2×0.961656942961223-π/2
    1.92331388592245-1.57079632675     		φ = 0.35251756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57490724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.939758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35251756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.197768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77529 KachelY 58025 0.57490724 0.35251756 32.939758 20.197768
    Oben rechts KachelX + 1 77530 KachelY 58025 0.57495517 0.35251756 32.942505 20.197768
    Unten links KachelX 77529 KachelY + 1 58026 0.57490724 0.35247257 32.939758 20.195191
    Unten rechts KachelX + 1 77530 KachelY + 1 58026 0.57495517 0.35247257 32.942505 20.195191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35251756-0.35247257) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dl = 286.631290000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35251756-0.35247257) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dr = 286.631290000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57490724-0.57495517) × cos(0.35251756) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.938506471033706 × 6371000     		do = 286.5842411625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57490724-0.57495517) × cos(0.35247257) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.938522003405315 × 6371000     		du = 286.588984159025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35251756)-sin(0.35247257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938506471033706-0.938522003405315)×R²
    abs(0.57495517-0.57490724)×1.5532371608673e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5532371608673e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5532371608673e-05×40589641000000     		ar = 82144.6904975617m²