Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77527 / 58155
↖ ↑ ↗
← N 19.862310°
E 32.934265°		 ← 287.26 m → N 19.862310°
E 32.937012°		 →
↑
287.20 m
↓
↑
287.20 m
↓
N 19.859727°
E 32.934265°		 ← 287.26 m →
82 502 m²		 N 19.859727°
E 32.937012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591487884521484 y=0.443691253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591487884521484 × 217)
    floor (0.591487884521484 × 131072)
    floor (77527.5)     		tx = 77527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443691253662109 × 217)
    floor (0.443691253662109 × 131072)
    floor (58155.5)     		ty = 58155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77527 / 58155 ti = "17/77527/58155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77527/58155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77527 ÷ 217
    77527 ÷ 131072     		x = 0.591484069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58155 ÷ 217
    58155 ÷ 131072     		y = 0.443687438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591484069824219 × 2 - 1) × π
    0.182968139648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57481136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443687438964844 × 2 - 1) × π
    0.112625122070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.353822256095634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57481136} λ = 0.57481136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353822256095634))-π/2
    2×atan(1.42450196743502)-π/2
    2×0.958729520583927-π/2
    1.91745904116785-1.57079632675     		φ = 0.34666271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57481136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.934265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34666271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.862310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77527 KachelY 58155 0.57481136 0.34666271 32.934265 19.862310
    Oben rechts KachelX + 1 77528 KachelY 58155 0.57485930 0.34666271 32.937012 19.862310
    Unten links KachelX 77527 KachelY + 1 58156 0.57481136 0.34661763 32.934265 19.859727
    Unten rechts KachelX + 1 77528 KachelY + 1 58156 0.57485930 0.34661763 32.937012 19.859727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34666271-0.34661763) × R
    4.50799999999751e-05 × 6371000     		dl = 287.204679999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34666271-0.34661763) × R
    4.50799999999751e-05 × 6371000     		dr = 287.204679999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57481136-0.57485930) × cos(0.34666271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94051182901795 × 6371000     		do = 287.256521356372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57481136-0.57485930) × cos(0.34661763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94052714448567 × 6371000     		du = 287.261199094434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34666271)-sin(0.34661763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94051182901795-0.94052714448567)×R²
    abs(0.57485930-0.57481136)×1.53154677203782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53154677203782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53154677203782e-05×40589641000000     		ar = 82502.0890421524m²