Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77524 / 60186
↖ ↑ ↗
← N 14.535732°
E 32.926025°		 ← 295.65 m → N 14.535732°
E 32.928772°		 →
↑
295.61 m
↓
↑
295.61 m
↓
N 14.533074°
E 32.926025°		 ← 295.65 m →
87 399 m²		 N 14.533074°
E 32.928772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591464996337891 y=0.459186553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591464996337891 × 217)
    floor (0.591464996337891 × 131072)
    floor (77524.5)     		tx = 77524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459186553955078 × 217)
    floor (0.459186553955078 × 131072)
    floor (60186.5)     		ty = 60186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77524 / 60186 ti = "17/77524/60186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77524/60186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77524 ÷ 217
    77524 ÷ 131072     		x = 0.591461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60186 ÷ 217
    60186 ÷ 131072     		y = 0.459182739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591461181640625 × 2 - 1) × π
    0.18292236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57466755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459182739257812 × 2 - 1) × π
    0.081634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.2564624129673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57466755} λ = 0.57466755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2564624129673))-π/2
    2×atan(1.29235018927794)-π/2
    2×0.912246360159334-π/2
    1.82449272031867-1.57079632675     		φ = 0.25369639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57466755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.926025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25369639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.535732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77524 KachelY 60186 0.57466755 0.25369639 32.926025 14.535732
    Oben rechts KachelX + 1 77525 KachelY 60186 0.57471549 0.25369639 32.928772 14.535732
    Unten links KachelX 77524 KachelY + 1 60187 0.57466755 0.25364999 32.926025 14.533074
    Unten rechts KachelX + 1 77525 KachelY + 1 60187 0.57471549 0.25364999 32.928772 14.533074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25369639-0.25364999) × R
    4.6400000000002e-05 × 6371000     		dl = 295.614400000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25369639-0.25364999) × R
    4.6400000000002e-05 × 6371000     		dr = 295.614400000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57466755-0.57471549) × cos(0.25369639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967991303009672 × 6371000     		do = 295.6494600351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57466755-0.57471549) × cos(0.25364999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96800294761314 × 6371000     		du = 295.653016596731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25369639)-sin(0.25364999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967991303009672-0.96800294761314)×R²
    abs(0.57471549-0.57466755)×1.16446034672535e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16446034672535e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16446034672535e-05×40589641000000     		ar = 87398.76343972m²