Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77520 / 58062
↖ ↑ ↗
← N 20.102365°
E 32.915039°		 ← 286.76 m → N 20.102365°
E 32.917786°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.099786°
E 32.915039°		 ← 286.76 m →
82 231 m²		 N 20.099786°
E 32.917786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591434478759766 y=0.442981719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591434478759766 × 217)
    floor (0.591434478759766 × 131072)
    floor (77520.5)     		tx = 77520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442981719970703 × 217)
    floor (0.442981719970703 × 131072)
    floor (58062.5)     		ty = 58062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77520 / 58062 ti = "17/77520/58062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77520/58062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77520 ÷ 217
    77520 ÷ 131072     		x = 0.5914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58062 ÷ 217
    58062 ÷ 131072     		y = 0.442977905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5914306640625 × 2 - 1) × π
    0.182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57447581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442977905273438 × 2 - 1) × π
    0.114044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3582803877603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57447581} λ = 0.57447581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3582803877603))-π/2
    2×atan(1.43086676176634)-π/2
    2×0.960824390278644-π/2
    1.92164878055729-1.57079632675     		φ = 0.35085245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57447581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35085245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.102365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77520 KachelY 58062 0.57447581 0.35085245 32.915039 20.102365
    Oben rechts KachelX + 1 77521 KachelY 58062 0.57452374 0.35085245 32.917786 20.102365
    Unten links KachelX 77520 KachelY + 1 58063 0.57447581 0.35080744 32.915039 20.099786
    Unten rechts KachelX + 1 77521 KachelY + 1 58063 0.57452374 0.35080744 32.917786 20.099786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35085245-0.35080744) × R
    4.50099999999565e-05 × 6371000     		dl = 286.758709999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35085245-0.35080744) × R
    4.50099999999565e-05 × 6371000     		dr = 286.758709999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57447581-0.57452374) × cos(0.35085245) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.93908006833938 × 6371000     		do = 286.759396000163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57447581-0.57452374) × cos(0.35080744) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939095537255415 × 6371000     		du = 286.764119619765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35085245)-sin(0.35080744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93908006833938-0.939095537255415)×R²
    abs(0.57452374-0.57447581)×1.54689160348775e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.54689160348775e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.54689160348775e-05×40589641000000     		ar = 82231.4317607922m²