Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7752 / 4919
↖ ↑ ↗
← N 58.182289°
W  9.667969°		 ← 1 288.14 m → N 58.182289°
W  9.645996°		 →
↑
1 288.34 m
↓
↑
1 288.34 m
↓
N 58.170703°
W  9.667969°		 ← 1 288.56 m →
1 659 839 m²		 N 58.170703°
W  9.645996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473175048828125 y=0.300262451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473175048828125 × 214)
    floor (0.473175048828125 × 16384)
    floor (7752.5)     		tx = 7752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300262451171875 × 214)
    floor (0.300262451171875 × 16384)
    floor (4919.5)     		ty = 4919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7752 / 4919 ti = "14/7752/4919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7752/4919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7752 ÷ 214
    7752 ÷ 16384     		x = 0.47314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4919 ÷ 214
    4919 ÷ 16384     		y = 0.30023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47314453125 × 2 - 1) × π
    -0.0537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16873789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30023193359375 × 2 - 1) × π
    0.3995361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25517977965155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16873789} λ = -0.16873789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25517977965155))-π/2
    2×atan(3.50846906899455)-π/2
    2×1.29313441600704-π/2
    2.58626883201407-1.57079632675     		φ = 1.01547251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16873789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01547251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.182289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7752 KachelY 4919 -0.16873789 1.01547251 -9.667969 58.182289
    Oben rechts KachelX + 1 7753 KachelY 4919 -0.16835439 1.01547251 -9.645996 58.182289
    Unten links KachelX 7752 KachelY + 1 4920 -0.16873789 1.01527029 -9.667969 58.170703
    Unten rechts KachelX + 1 7753 KachelY + 1 4920 -0.16835439 1.01527029 -9.645996 58.170703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01547251-1.01527029) × R
    0.000202220000000031 × 6371000     		dl = 1288.3436200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01547251-1.01527029) × R
    0.000202220000000031 × 6371000     		dr = 1288.3436200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16873789--0.16835439) × cos(1.01547251) × R
    0.000383500000000009 × 0.527218484608111 × 6371000     		do = 1288.14158824561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16873789--0.16835439) × cos(1.01527029) × R
    0.000383500000000009 × 0.527390306179784 × 6371000     		du = 1288.56139619751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01547251)-sin(1.01527029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527218484608111-0.527390306179784)×R²
    abs(-0.16835439--0.16873789)×0.000171821571672726×R²
    0.000383500000000009×0.000171821571672726×6371000²
    0.000383500000000009×0.000171821571672726×40589641000000     		ar = 1659839.43097607m²