Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7752 / 1621
↖ ↑ ↗
← N 72.958315°
E160.664062°		 ← 1 432.07 m → N 72.958315°
E160.708008°		 →
↑
1 432.58 m
↓
↑
1 432.58 m
↓
N 72.945431°
E160.664062°		 ← 1 433.12 m →
2 052 314 m²		 N 72.945431°
E160.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94635009765625 y=0.19793701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94635009765625 × 213)
    floor (0.94635009765625 × 8192)
    floor (7752.5)     		tx = 7752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19793701171875 × 213)
    floor (0.19793701171875 × 8192)
    floor (1621.5)     		ty = 1621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7752 / 1621 ti = "13/7752/1621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7752/1621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7752 ÷ 213
    7752 ÷ 8192     		x = 0.9462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1621 ÷ 213
    1621 ÷ 8192     		y = 0.1978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9462890625 × 2 - 1) × π
    0.892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80411688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1978759765625 × 2 - 1) × π
    0.604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89830122495422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80411688} λ = 2.80411688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89830122495422))-π/2
    2×atan(6.67454625338117)-π/2
    2×1.4220795684278-π/2
    2.8441591368556-1.57079632675     		φ = 1.27336281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80411688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27336281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.958315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7752 KachelY 1621 2.80411688 1.27336281 160.664062 72.958315
    Oben rechts KachelX + 1 7753 KachelY 1621 2.80488387 1.27336281 160.708008 72.958315
    Unten links KachelX 7752 KachelY + 1 1622 2.80411688 1.27313795 160.664062 72.945431
    Unten rechts KachelX + 1 7753 KachelY + 1 1622 2.80488387 1.27313795 160.708008 72.945431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27336281-1.27313795) × R
    0.000224860000000104 × 6371000     		dl = 1432.58306000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27336281-1.27313795) × R
    0.000224860000000104 × 6371000     		dr = 1432.58306000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80411688-2.80488387) × cos(1.27336281) × R
    0.000766989999999801 × 0.293067381027397 × 6371000     		do = 1432.07179090787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80411688-2.80488387) × cos(1.27313795) × R
    0.000766989999999801 × 0.29328236041636 × 6371000     		du = 1433.12228624953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27336281)-sin(1.27313795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293067381027397-0.29328236041636)×R²
    abs(2.80488387-2.80411688)×0.000214979388962977×R²
    0.000766989999999801×0.000214979388962977×6371000²
    0.000766989999999801×0.000214979388962977×40589641000000     		ar = 2052314.25792155m²