Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77519 / 60011
↖ ↑ ↗
← N 15.000505°
E 32.912293°		 ← 295.02 m → N 15.000505°
E 32.915039°		 →
↑
294.98 m
↓
↑
294.98 m
↓
N 14.997852°
E 32.912293°		 ← 295.02 m →
87 024 m²		 N 14.997852°
E 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591426849365234 y=0.457851409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591426849365234 × 217)
    floor (0.591426849365234 × 131072)
    floor (77519.5)     		tx = 77519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457851409912109 × 217)
    floor (0.457851409912109 × 131072)
    floor (60011.5)     		ty = 60011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77519 / 60011 ti = "17/77519/60011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77519/60011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77519 ÷ 217
    77519 ÷ 131072     		x = 0.591423034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60011 ÷ 217
    60011 ÷ 131072     		y = 0.457847595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591423034667969 × 2 - 1) × π
    0.182846069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57442787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457847595214844 × 2 - 1) × π
    0.0843048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.26485137040081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57442787} λ = 0.57442787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26485137040081))-π/2
    2×atan(1.30323726175104)-π/2
    2×0.916302263188498-π/2
    1.832604526377-1.57079632675     		φ = 0.26180820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57442787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.912293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26180820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.000505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77519 KachelY 60011 0.57442787 0.26180820 32.912293 15.000505
    Oben rechts KachelX + 1 77520 KachelY 60011 0.57447581 0.26180820 32.915039 15.000505
    Unten links KachelX 77519 KachelY + 1 60012 0.57442787 0.26176190 32.912293 14.997852
    Unten rechts KachelX + 1 77520 KachelY + 1 60012 0.57447581 0.26176190 32.915039 14.997852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26180820-0.26176190) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.977299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26180820-0.26176190) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.977299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57442787-0.57447581) × cos(0.26180820) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965923545486154 × 6371000     		do = 295.017913664022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57442787-0.57447581) × cos(0.26176190) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.96593552816672 × 6371000     		du = 295.021573483101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26180820)-sin(0.26176190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965923545486154-0.96593552816672)×R²
    abs(0.57447581-0.57442787)×1.19826805656809e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.19826805656809e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.19826805656809e-05×40589641000000     		ar = 87024.1274215547m²