Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77518 / 58034
↖ ↑ ↗
← N 20.174568°
E 32.909546°		 ← 286.69 m → N 20.174568°
E 32.912293°		 →
↑
286.69 m
↓
↑
286.69 m
↓
N 20.171989°
E 32.909546°		 ← 286.69 m →
82 192 m²		 N 20.171989°
E 32.912293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591419219970703 y=0.442768096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591419219970703 × 217)
    floor (0.591419219970703 × 131072)
    floor (77518.5)     		tx = 77518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442768096923828 × 217)
    floor (0.442768096923828 × 131072)
    floor (58034.5)     		ty = 58034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77518 / 58034 ti = "17/77518/58034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77518/58034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77518 ÷ 217
    77518 ÷ 131072     		x = 0.591415405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58034 ÷ 217
    58034 ÷ 131072     		y = 0.442764282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591415405273438 × 2 - 1) × π
    0.182830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57437993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442764282226562 × 2 - 1) × π
    0.114471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.359622620949661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57437993} λ = 0.57437993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359622620949661))-π/2
    2×atan(1.43278860811798)-π/2
    2×0.961454476980481-π/2
    1.92290895396096-1.57079632675     		φ = 0.35211263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57437993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.909546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35211263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.174568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77518 KachelY 58034 0.57437993 0.35211263 32.909546 20.174568
    Oben rechts KachelX + 1 77519 KachelY 58034 0.57442787 0.35211263 32.912293 20.174568
    Unten links KachelX 77518 KachelY + 1 58035 0.57437993 0.35206763 32.909546 20.171989
    Unten rechts KachelX + 1 77519 KachelY + 1 58035 0.57442787 0.35206763 32.912293 20.171989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35211263-0.35206763) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dl = 286.694999999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35211263-0.35206763) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dr = 286.694999999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57437993-0.57442787) × cos(0.35211263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938646200885326 × 6371000     		do = 286.686710503401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57437993-0.57442787) × cos(0.35206763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93866171960639 × 6371000     		du = 286.691450320266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35211263)-sin(0.35206763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938646200885326-0.93866171960639)×R²
    abs(0.57442787-0.57437993)×1.55187210638674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55187210638674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55187210638674e-05×40589641000000     		ar = 82192.3259225233m²