Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77517 / 60197
↖ ↑ ↗
← N 14.506485°
E 32.906799°		 ← 295.69 m → N 14.506485°
E 32.909546°		 →
↑
295.68 m
↓
↑
295.68 m
↓
N 14.503826°
E 32.906799°		 ← 295.69 m →
87 429 m²		 N 14.503826°
E 32.909546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591411590576172 y=0.459270477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591411590576172 × 217)
    floor (0.591411590576172 × 131072)
    floor (77517.5)     		tx = 77517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459270477294922 × 217)
    floor (0.459270477294922 × 131072)
    floor (60197.5)     		ty = 60197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77517 / 60197 ti = "17/77517/60197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77517/60197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77517 ÷ 217
    77517 ÷ 131072     		x = 0.591407775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60197 ÷ 217
    60197 ÷ 131072     		y = 0.459266662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591407775878906 × 2 - 1) × π
    0.182815551757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57433199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459266662597656 × 2 - 1) × π
    0.0814666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.25593510707148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57433199} λ = 0.57433199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.25593510707148))-π/2
    2×atan(1.29166890504205)-π/2
    2×0.911991129521157-π/2
    1.82398225904231-1.57079632675     		φ = 0.25318593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57433199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.906799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25318593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.506485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77517 KachelY 60197 0.57433199 0.25318593 32.906799 14.506485
    Oben rechts KachelX + 1 77518 KachelY 60197 0.57437993 0.25318593 32.909546 14.506485
    Unten links KachelX 77517 KachelY + 1 60198 0.57433199 0.25313952 32.906799 14.503826
    Unten rechts KachelX + 1 77518 KachelY + 1 60198 0.57437993 0.25313952 32.909546 14.503826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25318593-0.25313952) × R
    4.64099999999967e-05 × 6371000     		dl = 295.678109999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25318593-0.25313952) × R
    4.64099999999967e-05 × 6371000     		dr = 295.678109999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57433199-0.57437993) × cos(0.25318593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968119294049115 × 6371000     		do = 295.688551793035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57433199-0.57437993) × cos(0.25313952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968130918228168 × 6371000     		du = 295.692102116524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25318593)-sin(0.25313952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968119294049115-0.968130918228168)×R²
    abs(0.57437993-0.57433199)×1.16241790528715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16241790528715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16241790528715e-05×40589641000000     		ar = 87429.15703493m²