Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77516 / 60140
↖ ↑ ↗
← N 14.657998°
E 32.904053°		 ← 295.42 m → N 14.657998°
E 32.906799°		 →
↑
295.49 m
↓
↑
295.49 m
↓
N 14.655340°
E 32.904053°		 ← 295.43 m →
87 294 m²		 N 14.655340°
E 32.906799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591403961181641 y=0.458835601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591403961181641 × 217)
    floor (0.591403961181641 × 131072)
    floor (77516.5)     		tx = 77516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458835601806641 × 217)
    floor (0.458835601806641 × 131072)
    floor (60140.5)     		ty = 60140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77516 / 60140 ti = "17/77516/60140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77516/60140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77516 ÷ 217
    77516 ÷ 131072     		x = 0.591400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60140 ÷ 217
    60140 ÷ 131072     		y = 0.458831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591400146484375 × 2 - 1) × π
    0.18280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57428406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458831787109375 × 2 - 1) × π
    0.08233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.258667510349823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57428406} λ = 0.57428406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258667510349823))-π/2
    2×atan(1.29520309160534)-π/2
    2×0.913313321613825-π/2
    1.82662664322765-1.57079632675     		φ = 0.25583032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57428406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.904053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25583032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.657998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77516 KachelY 60140 0.57428406 0.25583032 32.904053 14.657998
    Oben rechts KachelX + 1 77517 KachelY 60140 0.57433199 0.25583032 32.906799 14.657998
    Unten links KachelX 77516 KachelY + 1 60141 0.57428406 0.25578394 32.904053 14.655340
    Unten rechts KachelX + 1 77517 KachelY + 1 60141 0.57433199 0.25578394 32.906799 14.655340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25583032-0.25578394) × R
    4.63800000000125e-05 × 6371000     		dl = 295.48698000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25583032-0.25578394) × R
    4.63800000000125e-05 × 6371000     		dr = 295.48698000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57428406-0.57433199) × cos(0.25583032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967453517736281 × 6371000     		do = 295.423570106772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57428406-0.57433199) × cos(0.25578394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967465253098692 × 6371000     		du = 295.427153640861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25583032)-sin(0.25578394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967453517736281-0.967465253098692)×R²
    abs(0.57433199-0.57428406)×1.17353624117245e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.17353624117245e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.17353624117245e-05×40589641000000     		ar = 87294.3480111706m²