Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77513 / 57369
↖ ↑ ↗
← N 21.879341°
E 32.895813°		 ← 283.37 m → N 21.879341°
E 32.898559°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
N 21.876793°
E 32.895813°		 ← 283.37 m →
80 302 m²		 N 21.876793°
E 32.898559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591381072998047 y=0.437694549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591381072998047 × 217)
    floor (0.591381072998047 × 131072)
    floor (77513.5)     		tx = 77513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437694549560547 × 217)
    floor (0.437694549560547 × 131072)
    floor (57369.5)     		ty = 57369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77513 / 57369 ti = "17/77513/57369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77513/57369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77513 ÷ 217
    77513 ÷ 131072     		x = 0.591377258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57369 ÷ 217
    57369 ÷ 131072     		y = 0.437690734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591377258300781 × 2 - 1) × π
    0.182754516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57414025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437690734863281 × 2 - 1) × π
    0.124618530273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.391500659196999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57414025} λ = 0.57414025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391500659196999))-π/2
    2×atan(1.47919890259113)-π/2
    2×0.976331433423108-π/2
    1.95266286684622-1.57079632675     		φ = 0.38186654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57414025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.895813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38186654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.879341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77513 KachelY 57369 0.57414025 0.38186654 32.895813 21.879341
    Oben rechts KachelX + 1 77514 KachelY 57369 0.57418818 0.38186654 32.898559 21.879341
    Unten links KachelX 77513 KachelY + 1 57370 0.57414025 0.38182206 32.895813 21.876793
    Unten rechts KachelX + 1 77514 KachelY + 1 57370 0.57418818 0.38182206 32.898559 21.876793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38186654-0.38182206) × R
    4.44799999999579e-05 × 6371000     		dl = 283.382079999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38186654-0.38182206) × R
    4.44799999999579e-05 × 6371000     		dr = 283.382079999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57414025-0.57418818) × cos(0.38186654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927970680365421 × 6371000     		do = 283.36701073704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57414025-0.57418818) × cos(0.38182206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927987255062302 × 6371000     		du = 283.372072020126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38186654)-sin(0.38182206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927970680365421-0.927987255062302)×R²
    abs(0.57418818-0.57414025)×1.65746968810998e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65746968810998e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65746968810998e-05×40589641000000     		ar = 80301.8500577251m²