Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77511 / 57495
↖ ↑ ↗
← N 21.557839°
E 32.890320°		 ← 284.06 m → N 21.557839°
E 32.893066°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
N 21.555284°
E 32.890320°		 ← 284.07 m →
80 697 m²		 N 21.555284°
E 32.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591365814208984 y=0.438655853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591365814208984 × 217)
    floor (0.591365814208984 × 131072)
    floor (77511.5)     		tx = 77511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438655853271484 × 217)
    floor (0.438655853271484 × 131072)
    floor (57495.5)     		ty = 57495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77511 / 57495 ti = "17/77511/57495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77511/57495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77511 ÷ 217
    77511 ÷ 131072     		x = 0.591361999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57495 ÷ 217
    57495 ÷ 131072     		y = 0.438652038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591361999511719 × 2 - 1) × π
    0.182723999023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57404437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438652038574219 × 2 - 1) × π
    0.122695922851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.385460609844872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57404437} λ = 0.57404437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385460609844872))-π/2
    2×atan(1.47029139618744)-π/2
    2×0.97352579742863-π/2
    1.94705159485726-1.57079632675     		φ = 0.37625527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57404437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.890320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37625527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.557839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77511 KachelY 57495 0.57404437 0.37625527 32.890320 21.557839
    Oben rechts KachelX + 1 77512 KachelY 57495 0.57409231 0.37625527 32.893066 21.557839
    Unten links KachelX 77511 KachelY + 1 57496 0.57404437 0.37621068 32.890320 21.555284
    Unten rechts KachelX + 1 77512 KachelY + 1 57496 0.57409231 0.37621068 32.893066 21.555284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37625527-0.37621068) × R
    4.45899999999555e-05 × 6371000     		dl = 284.082889999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37625527-0.37621068) × R
    4.45899999999555e-05 × 6371000     		dr = 284.082889999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57404437-0.57409231) × cos(0.37625527) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930047118013848 × 6371000     		do = 284.060329254719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57404437-0.57409231) × cos(0.37621068) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93006350125127 × 6371000     		du = 284.065333117132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37625527)-sin(0.37621068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930047118013848-0.93006350125127)×R²
    abs(0.57409231-0.57404437)×1.63832374219242e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.63832374219242e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.63832374219242e-05×40589641000000     		ar = 80697.3900381812m²