Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77511 / 57415
↖ ↑ ↗
← N 21.762050°
E 32.890320°		 ← 283.66 m → N 21.762050°
E 32.893066°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.759500°
E 32.890320°		 ← 283.66 m →
80 457 m²		 N 21.759500°
E 32.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591365814208984 y=0.438045501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591365814208984 × 217)
    floor (0.591365814208984 × 131072)
    floor (77511.5)     		tx = 77511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438045501708984 × 217)
    floor (0.438045501708984 × 131072)
    floor (57415.5)     		ty = 57415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77511 / 57415 ti = "17/77511/57415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77511/57415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77511 ÷ 217
    77511 ÷ 131072     		x = 0.591361999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57415 ÷ 217
    57415 ÷ 131072     		y = 0.438041687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591361999511719 × 2 - 1) × π
    0.182723999023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57404437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438041687011719 × 2 - 1) × π
    0.123916625976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.389295561814476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57404437} λ = 0.57404437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389295561814476))-π/2
    2×atan(1.47594071858953)-π/2
    2×0.975307880790669-π/2
    1.95061576158134-1.57079632675     		φ = 0.37981943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57404437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.890320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37981943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.762050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77511 KachelY 57415 0.57404437 0.37981943 32.890320 21.762050
    Oben rechts KachelX + 1 77512 KachelY 57415 0.57409231 0.37981943 32.893066 21.762050
    Unten links KachelX 77511 KachelY + 1 57416 0.57404437 0.37977491 32.890320 21.759500
    Unten rechts KachelX + 1 77512 KachelY + 1 57416 0.57409231 0.37977491 32.893066 21.759500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37981943-0.37977491) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37981943-0.37977491) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57404437-0.57409231) × cos(0.37981943) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928731597545509 × 6371000     		do = 283.65853544219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57404437-0.57409231) × cos(0.37977491) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928748102538633 × 6371000     		du = 283.663576491929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37981943)-sin(0.37977491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928731597545509-0.928748102538633)×R²
    abs(0.57409231-0.57404437)×1.65049931234451e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.65049931234451e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.65049931234451e-05×40589641000000     		ar = 80456.7482516757m²