Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7751 / 4935
↖ ↑ ↗
← N 57.996455°
W  9.689941°		 ← 1 294.83 m → N 57.996455°
W  9.667969°		 →
↑
1 295.03 m
↓
↑
1 295.03 m
↓
N 57.984808°
W  9.689941°		 ← 1 295.26 m →
1 677 127 m²		 N 57.984808°
W  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473114013671875 y=0.301239013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473114013671875 × 214)
    floor (0.473114013671875 × 16384)
    floor (7751.5)     		tx = 7751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301239013671875 × 214)
    floor (0.301239013671875 × 16384)
    floor (4935.5)     		ty = 4935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7751 / 4935 ti = "14/7751/4935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7751/4935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7751 ÷ 214
    7751 ÷ 16384     		x = 0.47308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4935 ÷ 214
    4935 ÷ 16384     		y = 0.30120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.0538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16912138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30120849609375 × 2 - 1) × π
    0.3975830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24904385650018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16912138} λ = -0.16912138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24904385650018))-π/2
    2×atan(3.48700728367646)-π/2
    2×1.29151270875714-π/2
    2.58302541751429-1.57079632675     		φ = 1.01222909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16912138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01222909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.996455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7751 KachelY 4935 -0.16912138 1.01222909 -9.689941 57.996455
    Oben rechts KachelX + 1 7752 KachelY 4935 -0.16873789 1.01222909 -9.667969 57.996455
    Unten links KachelX 7751 KachelY + 1 4936 -0.16912138 1.01202582 -9.689941 57.984808
    Unten rechts KachelX + 1 7752 KachelY + 1 4936 -0.16873789 1.01202582 -9.667969 57.984808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01222909-1.01202582) × R
    0.000203269999999867 × 6371000     		dl = 1295.03316999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01222909-1.01202582) × R
    0.000203269999999867 × 6371000     		dr = 1295.03316999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16912138--0.16873789) × cos(1.01222909) × R
    0.000383489999999986 × 0.529971737175628 × 6371000     		do = 1294.83478654944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16912138--0.16873789) × cos(1.01202582) × R
    0.000383489999999986 × 0.530144102296652 × 6371000     		du = 1295.25591156241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01222909)-sin(1.01202582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529971737175628-0.530144102296652)×R²
    abs(-0.16873789--0.16912138)×0.000172365121024143×R²
    0.000383489999999986×0.000172365121024143×6371000²
    0.000383489999999986×0.000172365121024143×40589641000000     		ar = 1677126.68945515m²