Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7751 / 4921
↖ ↑ ↗
← N 58.159112°
W  9.689941°		 ← 1 288.95 m → N 58.159112°
W  9.667969°		 →
↑
1 289.17 m
↓
↑
1 289.17 m
↓
N 58.147519°
W  9.689941°		 ← 1 289.37 m →
1 661 946 m²		 N 58.147519°
W  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473114013671875 y=0.300384521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473114013671875 × 214)
    floor (0.473114013671875 × 16384)
    floor (7751.5)     		tx = 7751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300384521484375 × 214)
    floor (0.300384521484375 × 16384)
    floor (4921.5)     		ty = 4921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7751 / 4921 ti = "14/7751/4921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7751/4921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7751 ÷ 214
    7751 ÷ 16384     		x = 0.47308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4921 ÷ 214
    4921 ÷ 16384     		y = 0.30035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.0538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16912138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30035400390625 × 2 - 1) × π
    0.3992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25441278925763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16912138} λ = -0.16912138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25441278925763))-π/2
    2×atan(3.50577913862851)-π/2
    2×1.29293216435436-π/2
    2.58586432870872-1.57079632675     		φ = 1.01506800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16912138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01506800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.159112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7751 KachelY 4921 -0.16912138 1.01506800 -9.689941 58.159112
    Oben rechts KachelX + 1 7752 KachelY 4921 -0.16873789 1.01506800 -9.667969 58.159112
    Unten links KachelX 7751 KachelY + 1 4922 -0.16912138 1.01486565 -9.689941 58.147519
    Unten rechts KachelX + 1 7752 KachelY + 1 4922 -0.16873789 1.01486565 -9.667969 58.147519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01506800-1.01486565) × R
    0.000202350000000129 × 6371000     		dl = 1289.17185000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01506800-1.01486565) × R
    0.000202350000000129 × 6371000     		dr = 1289.17185000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16912138--0.16873789) × cos(1.01506800) × R
    0.000383489999999986 × 0.527562165651074 × 6371000     		do = 1288.94768576309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16912138--0.16873789) × cos(1.01486565) × R
    0.000383489999999986 × 0.527734054498444 × 6371000     		du = 1289.36764713722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01506800)-sin(1.01486565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527562165651074-0.527734054498444)×R²
    abs(-0.16873789--0.16912138)×0.000171888847370405×R²
    0.000383489999999986×0.000171888847370405×6371000²
    0.000383489999999986×0.000171888847370405×40589641000000     		ar = 1661945.77947242m²