Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7751 / 1620
↖ ↑ ↗
← N 72.971189°
E160.620117°		 ← 1 431.02 m → N 72.971189°
E160.664062°		 →
↑
1 431.56 m
↓
↑
1 431.56 m
↓
N 72.958315°
E160.620117°		 ← 1 432.07 m →
2 049 351 m²		 N 72.958315°
E160.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94622802734375 y=0.19781494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94622802734375 × 213)
    floor (0.94622802734375 × 8192)
    floor (7751.5)     		tx = 7751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19781494140625 × 213)
    floor (0.19781494140625 × 8192)
    floor (1620.5)     		ty = 1620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7751 / 1620 ti = "13/7751/1620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7751/1620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7751 ÷ 213
    7751 ÷ 8192     		x = 0.9461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1620 ÷ 213
    1620 ÷ 8192     		y = 0.19775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9461669921875 × 2 - 1) × π
    0.892333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80334989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19775390625 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89906821534814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80334989} λ = 2.80334989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89906821534814))-π/2
    2×atan(6.67966752997521)-π/2
    2×1.4221919171614-π/2
    2.8443838343228-1.57079632675     		φ = 1.27358751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80334989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27358751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.971189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7751 KachelY 1620 2.80334989 1.27358751 160.620117 72.971189
    Oben rechts KachelX + 1 7752 KachelY 1620 2.80411688 1.27358751 160.664062 72.971189
    Unten links KachelX 7751 KachelY + 1 1621 2.80334989 1.27336281 160.620117 72.958315
    Unten rechts KachelX + 1 7752 KachelY + 1 1621 2.80411688 1.27336281 160.664062 72.958315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27358751-1.27336281) × R
    0.000224699999999967 × 6371000     		dl = 1431.56369999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27358751-1.27336281) × R
    0.000224699999999967 × 6371000     		dr = 1431.56369999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80334989-2.80411688) × cos(1.27358751) × R
    0.000766990000000245 × 0.292852539805578 × 6371000     		do = 1431.02197071987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80334989-2.80411688) × cos(1.27336281) × R
    0.000766990000000245 × 0.293067381027397 × 6371000     		du = 1432.0717909087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27358751)-sin(1.27336281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292852539805578-0.293067381027397)×R²
    abs(2.80411688-2.80334989)×0.000214841221818807×R²
    0.000766990000000245×0.000214841221818807×6371000²
    0.000766990000000245×0.000214841221818807×40589641000000     		ar = 2049350.55804331m²