Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77502 / 60354
↖ ↑ ↗
← N 14.088629°
E 32.865601°		 ← 296.24 m → N 14.088629°
E 32.868347°		 →
↑
296.25 m
↓
↑
296.25 m
↓
N 14.085965°
E 32.865601°		 ← 296.24 m →
87 762 m²		 N 14.085965°
E 32.868347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591297149658203 y=0.460468292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591297149658203 × 217)
    floor (0.591297149658203 × 131072)
    floor (77502.5)     		tx = 77502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460468292236328 × 217)
    floor (0.460468292236328 × 131072)
    floor (60354.5)     		ty = 60354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77502 / 60354 ti = "17/77502/60354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77502/60354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77502 ÷ 217
    77502 ÷ 131072     		x = 0.591293334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60354 ÷ 217
    60354 ÷ 131072     		y = 0.460464477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591293334960938 × 2 - 1) × π
    0.182586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57361294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460464477539062 × 2 - 1) × π
    0.079071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.248409013831131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57361294} λ = 0.57361294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248409013831131))-π/2
    2×atan(1.28198417423414)-π/2
    2×0.908344647656654-π/2
    1.81668929531331-1.57079632675     		φ = 0.24589297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57361294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.865601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24589297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.088629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77502 KachelY 60354 0.57361294 0.24589297 32.865601 14.088629
    Oben rechts KachelX + 1 77503 KachelY 60354 0.57366088 0.24589297 32.868347 14.088629
    Unten links KachelX 77502 KachelY + 1 60355 0.57361294 0.24584647 32.865601 14.085965
    Unten rechts KachelX + 1 77503 KachelY + 1 60355 0.57366088 0.24584647 32.868347 14.085965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24589297-0.24584647) × R
    4.64999999999771e-05 × 6371000     		dl = 296.251499999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24589297-0.24584647) × R
    4.64999999999771e-05 × 6371000     		dr = 296.251499999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57361294-0.57366088) × cos(0.24589297) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.96992034268857 × 6371000     		do = 296.238638407202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57361294-0.57366088) × cos(0.24584647) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.969931660787675 × 6371000     		du = 296.242095245996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24589297)-sin(0.24584647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96992034268857-0.969931660787675)×R²
    abs(0.57366088-0.57361294)×1.13180991052619e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.13180991052619e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.13180991052619e-05×40589641000000     		ar = 87761.6530487131m²