Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77501 / 60355
↖ ↑ ↗
← N 14.085965°
E 32.862854°		 ← 296.24 m → N 14.085965°
E 32.865601°		 →
↑
296.19 m
↓
↑
296.19 m
↓
N 14.083301°
E 32.862854°		 ← 296.25 m →
87 744 m²		 N 14.083301°
E 32.865601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591289520263672 y=0.460475921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591289520263672 × 217)
    floor (0.591289520263672 × 131072)
    floor (77501.5)     		tx = 77501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460475921630859 × 217)
    floor (0.460475921630859 × 131072)
    floor (60355.5)     		ty = 60355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77501 / 60355 ti = "17/77501/60355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77501/60355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77501 ÷ 217
    77501 ÷ 131072     		x = 0.591285705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60355 ÷ 217
    60355 ÷ 131072     		y = 0.460472106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591285705566406 × 2 - 1) × π
    0.182571411132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.57356500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460472106933594 × 2 - 1) × π
    0.0790557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.248361076931511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57356500} λ = 0.57356500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248361076931511))-π/2
    2×atan(1.28192272136041)-π/2
    2×0.908321400033963-π/2
    1.81664280006793-1.57079632675     		φ = 0.24584647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57356500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.862854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24584647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.085965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77501 KachelY 60355 0.57356500 0.24584647 32.862854 14.085965
    Oben rechts KachelX + 1 77502 KachelY 60355 0.57361294 0.24584647 32.865601 14.085965
    Unten links KachelX 77501 KachelY + 1 60356 0.57356500 0.24579998 32.862854 14.083301
    Unten rechts KachelX + 1 77502 KachelY + 1 60356 0.57361294 0.24579998 32.865601 14.083301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24584647-0.24579998) × R
    4.64900000000101e-05 × 6371000     		dl = 296.187790000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24584647-0.24579998) × R
    4.64900000000101e-05 × 6371000     		dr = 296.187790000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57356500-0.57361294) × cos(0.24584647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969931660787675 × 6371000     		do = 296.24209524531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57356500-0.57361294) × cos(0.24579998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969942974356222 × 6371000     		du = 296.245550700356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24584647)-sin(0.24579998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969931660787675-0.969942974356222)×R²
    abs(0.57361294-0.57356500)×1.13135685471111e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13135685471111e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13135685471111e-05×40589641000000     		ar = 87743.8032432542m²