Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77500 / 60372
↖ ↑ ↗
← N 14.040673°
E 32.860108°		 ← 296.24 m → N 14.040673°
E 32.862854°		 →
↑
296.25 m
↓
↑
296.25 m
↓
N 14.038009°
E 32.860108°		 ← 296.24 m →
87 762 m²		 N 14.038009°
E 32.862854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591281890869141 y=0.460605621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591281890869141 × 217)
    floor (0.591281890869141 × 131072)
    floor (77500.5)     		tx = 77500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460605621337891 × 217)
    floor (0.460605621337891 × 131072)
    floor (60372.5)     		ty = 60372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77500 / 60372 ti = "17/77500/60372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77500/60372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77500 ÷ 217
    77500 ÷ 131072     		x = 0.591278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60372 ÷ 217
    60372 ÷ 131072     		y = 0.460601806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591278076171875 × 2 - 1) × π
    0.18255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57351707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460601806640625 × 2 - 1) × π
    0.07879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.24754614963797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57351707} λ = 0.57351707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24754614963797))-π/2
    2×atan(1.28087847309756)-π/2
    2×0.907926148989079-π/2
    1.81585229797816-1.57079632675     		φ = 0.24505597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57351707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.860108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24505597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.040673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77500 KachelY 60372 0.57351707 0.24505597 32.860108 14.040673
    Oben rechts KachelX + 1 77501 KachelY 60372 0.57356500 0.24505597 32.862854 14.040673
    Unten links KachelX 77500 KachelY + 1 60373 0.57351707 0.24500947 32.860108 14.038009
    Unten rechts KachelX + 1 77501 KachelY + 1 60373 0.57356500 0.24500947 32.862854 14.038009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24505597-0.24500947) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dl = 296.251500000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24505597-0.24500947) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dr = 296.251500000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57351707-0.57356500) × cos(0.24505597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970123747575598 × 6371000     		do = 296.238956911074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57351707-0.57356500) × cos(0.24500947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970135027920738 × 6371000     		du = 296.242401500165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24505597)-sin(0.24500947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970123747575598-0.970135027920738)×R²
    abs(0.57356500-0.57351707)×1.12803451400856e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12803451400856e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12803451400856e-05×40589641000000     		ar = 87761.7455915079m²