Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77500 / 60359
↖ ↑ ↗
← N 14.075309°
E 32.860108°		 ← 296.19 m → N 14.075309°
E 32.862854°		 →
↑
296.25 m
↓
↑
296.25 m
↓
N 14.072645°
E 32.860108°		 ← 296.20 m →
87 748 m²		 N 14.072645°
E 32.862854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591281890869141 y=0.460506439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591281890869141 × 217)
    floor (0.591281890869141 × 131072)
    floor (77500.5)     		tx = 77500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460506439208984 × 217)
    floor (0.460506439208984 × 131072)
    floor (60359.5)     		ty = 60359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77500 / 60359 ti = "17/77500/60359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77500/60359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77500 ÷ 217
    77500 ÷ 131072     		x = 0.591278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60359 ÷ 217
    60359 ÷ 131072     		y = 0.460502624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591278076171875 × 2 - 1) × π
    0.18255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57351707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460502624511719 × 2 - 1) × π
    0.0789947509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.248169329333031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57351707} λ = 0.57351707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248169329333031))-π/2
    2×atan(1.28167693932196)-π/2
    2×0.908228406831411-π/2
    1.81645681366282-1.57079632675     		φ = 0.24566049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57351707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.860108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24566049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.075309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77500 KachelY 60359 0.57351707 0.24566049 32.860108 14.075309
    Oben rechts KachelX + 1 77501 KachelY 60359 0.57356500 0.24566049 32.862854 14.075309
    Unten links KachelX 77500 KachelY + 1 60360 0.57351707 0.24561399 32.860108 14.072645
    Unten rechts KachelX + 1 77501 KachelY + 1 60360 0.57356500 0.24561399 32.862854 14.072645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24566049-0.24561399) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dl = 296.251500000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24566049-0.24561399) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dr = 296.251500000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57351707-0.57356500) × cos(0.24566049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.969976907347563 × 6371000     		do = 296.194117480955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57351707-0.57356500) × cos(0.24561399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.969988214961153 × 6371000     		du = 296.197570396795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24566049)-sin(0.24561399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969976907347563-0.969988214961153)×R²
    abs(0.57356500-0.57351707)×1.13076135890289e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13076135890289e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13076135890289e-05×40589641000000     		ar = 87748.4630764746m²