Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77498 / 60203
↖ ↑ ↗
← N 14.490531°
E 32.854614°		 ← 295.71 m → N 14.490531°
E 32.857361°		 →
↑
295.68 m
↓
↑
295.68 m
↓
N 14.487872°
E 32.854614°		 ← 295.71 m →
87 435 m²		 N 14.487872°
E 32.857361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591266632080078 y=0.459316253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591266632080078 × 217)
    floor (0.591266632080078 × 131072)
    floor (77498.5)     		tx = 77498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459316253662109 × 217)
    floor (0.459316253662109 × 131072)
    floor (60203.5)     		ty = 60203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77498 / 60203 ti = "17/77498/60203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77498/60203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77498 ÷ 217
    77498 ÷ 131072     		x = 0.591262817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60203 ÷ 217
    60203 ÷ 131072     		y = 0.459312438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591262817382812 × 2 - 1) × π
    0.182525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57342119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459312438964844 × 2 - 1) × π
    0.0813751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.255647485673759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57342119} λ = 0.57342119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.255647485673759))-π/2
    2×atan(1.29129744684841)-π/2
    2×0.911851898595313-π/2
    1.82370379719063-1.57079632675     		φ = 0.25290747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57342119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.854614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25290747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.490531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77498 KachelY 60203 0.57342119 0.25290747 32.854614 14.490531
    Oben rechts KachelX + 1 77499 KachelY 60203 0.57346913 0.25290747 32.857361 14.490531
    Unten links KachelX 77498 KachelY + 1 60204 0.57342119 0.25286106 32.854614 14.487872
    Unten rechts KachelX + 1 77499 KachelY + 1 60204 0.57346913 0.25286106 32.857361 14.487872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25290747-0.25286106) × R
    4.64099999999967e-05 × 6371000     		dl = 295.678109999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25290747-0.25286106) × R
    4.64099999999967e-05 × 6371000     		dr = 295.678109999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57342119-0.57346913) × cos(0.25290747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968189007844247 × 6371000     		do = 295.709844180501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57342119-0.57346913) × cos(0.25286106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96820061951145 × 6371000     		du = 295.713390682549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25290747)-sin(0.25286106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968189007844247-0.96820061951145)×R²
    abs(0.57346913-0.57342119)×1.16116672034261e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16116672034261e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16116672034261e-05×40589641000000     		ar = 87435.4521629516m²