Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77497 / 60347
↖ ↑ ↗
← N 14.107276°
E 32.851868°		 ← 296.15 m → N 14.107276°
E 32.854614°		 →
↑
296.19 m
↓
↑
296.19 m
↓
N 14.104613°
E 32.851868°		 ← 296.16 m →
87 717 m²		 N 14.104613°
E 32.854614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591259002685547 y=0.460414886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591259002685547 × 217)
    floor (0.591259002685547 × 131072)
    floor (77497.5)     		tx = 77497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460414886474609 × 217)
    floor (0.460414886474609 × 131072)
    floor (60347.5)     		ty = 60347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77497 / 60347 ti = "17/77497/60347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77497/60347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77497 ÷ 217
    77497 ÷ 131072     		x = 0.591255187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60347 ÷ 217
    60347 ÷ 131072     		y = 0.460411071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591255187988281 × 2 - 1) × π
    0.182510375976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57337326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460411071777344 × 2 - 1) × π
    0.0791778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.248744572128471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57337326} λ = 0.57337326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248744572128471))-π/2
    2×atan(1.28241442684425)-π/2
    2×0.908507373417206-π/2
    1.81701474683441-1.57079632675     		φ = 0.24621842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57337326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.851868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24621842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.107276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77497 KachelY 60347 0.57337326 0.24621842 32.851868 14.107276
    Oben rechts KachelX + 1 77498 KachelY 60347 0.57342119 0.24621842 32.854614 14.107276
    Unten links KachelX 77497 KachelY + 1 60348 0.57337326 0.24617193 32.851868 14.104613
    Unten rechts KachelX + 1 77498 KachelY + 1 60348 0.57342119 0.24617193 32.854614 14.104613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24621842-0.24617193) × R
    4.64899999999824e-05 × 6371000     		dl = 296.187789999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24621842-0.24617193) × R
    4.64899999999824e-05 × 6371000     		dr = 296.187789999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57337326-0.57342119) × cos(0.24621842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.969841069461227 × 6371000     		do = 296.152637748233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57337326-0.57342119) × cos(0.24617193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.969852399801104 × 6371000     		du = 296.156097603818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24621842)-sin(0.24617193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969841069461227-0.969852399801104)×R²
    abs(0.57342119-0.57337326)×1.13303398771025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13303398771025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13303398771025e-05×40589641000000     		ar = 87717.307676588m²