Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7749 / 4395
↖ ↑ ↗
← N 63.753350°
W  9.733887°		 ← 1 080.48 m → N 63.753350°
W  9.711914°		 →
↑
1 080.65 m
↓
↑
1 080.65 m
↓
N 63.743631°
W  9.733887°		 ← 1 080.85 m →
1 167 818 m²		 N 63.743631°
W  9.711914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472991943359375 y=0.268280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472991943359375 × 214)
    floor (0.472991943359375 × 16384)
    floor (7749.5)     		tx = 7749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268280029296875 × 214)
    floor (0.268280029296875 × 16384)
    floor (4395.5)     		ty = 4395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7749 / 4395 ti = "14/7749/4395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7749/4395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7749 ÷ 214
    7749 ÷ 16384     		x = 0.47296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4395 ÷ 214
    4395 ÷ 16384     		y = 0.26824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16988837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26824951171875 × 2 - 1) × π
    0.4635009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45613126285883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16988837} λ = -0.16988837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45613126285883))-π/2
    2×atan(4.28933308519607)-π/2
    2×1.34175109456056-π/2
    2.68350218912112-1.57079632675     		φ = 1.11270586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16988837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.733887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11270586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.753350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7749 KachelY 4395 -0.16988837 1.11270586 -9.733887 63.753350
    Oben rechts KachelX + 1 7750 KachelY 4395 -0.16950488 1.11270586 -9.711914 63.753350
    Unten links KachelX 7749 KachelY + 1 4396 -0.16988837 1.11253624 -9.733887 63.743631
    Unten rechts KachelX + 1 7750 KachelY + 1 4396 -0.16950488 1.11253624 -9.711914 63.743631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11270586-1.11253624) × R
    0.00016961999999987 × 6371000     		dl = 1080.64901999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11270586-1.11253624) × R
    0.00016961999999987 × 6371000     		dr = 1080.64901999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16988837--0.16950488) × cos(1.11270586) × R
    0.000383490000000014 × 0.44223625662028 × 6371000     		do = 1080.47816284894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16988837--0.16950488) × cos(1.11253624) × R
    0.000383490000000014 × 0.442388382197799 × 6371000     		du = 1080.84983830987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11270586)-sin(1.11253624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44223625662028-0.442388382197799)×R²
    abs(-0.16950488--0.16988837)×0.00015212557751898×R²
    0.000383490000000014×0.00015212557751898×6371000²
    0.000383490000000014×0.00015212557751898×40589641000000     		ar = 1167818.4959753m²