Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7749 / 1613
↖ ↑ ↗
← N 73.061044°
E160.532227°		 ← 1 423.69 m → N 73.061044°
E160.576172°		 →
↑
1 424.17 m
↓
↑
1 424.17 m
↓
N 73.048237°
E160.532227°		 ← 1 424.74 m →
2 028 329 m²		 N 73.048237°
E160.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94598388671875 y=0.19696044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94598388671875 × 213)
    floor (0.94598388671875 × 8192)
    floor (7749.5)     		tx = 7749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19696044921875 × 213)
    floor (0.19696044921875 × 8192)
    floor (1613.5)     		ty = 1613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7749 / 1613 ti = "13/7749/1613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7749/1613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7749 ÷ 213
    7749 ÷ 8192     		x = 0.9459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1613 ÷ 213
    1613 ÷ 8192     		y = 0.1968994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9459228515625 × 2 - 1) × π
    0.891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80181591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1968994140625 × 2 - 1) × π
    0.606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90443714810559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80181591} λ = 2.80181591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90443714810559))-π/2
    2×atan(6.71562666048451)-π/2
    2×1.42297605521569-π/2
    2.84595211043138-1.57079632675     		φ = 1.27515578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80181591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27515578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.061044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7749 KachelY 1613 2.80181591 1.27515578 160.532227 73.061044
    Oben rechts KachelX + 1 7750 KachelY 1613 2.80258290 1.27515578 160.576172 73.061044
    Unten links KachelX 7749 KachelY + 1 1614 2.80181591 1.27493224 160.532227 73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 7750 KachelY + 1 1614 2.80258290 1.27493224 160.576172 73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27515578-1.27493224) × R
    0.000223539999999911 × 6371000     		dl = 1424.17333999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27515578-1.27493224) × R
    0.000223539999999911 × 6371000     		dr = 1424.17333999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80181591-2.80258290) × cos(1.27515578) × R
    0.000766989999999801 × 0.291352666982039 × 6371000     		do = 1423.69285223097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80181591-2.80258290) × cos(1.27493224) × R
    0.000766989999999801 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 1424.73775354639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27515578)-sin(1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291352666982039-0.291566501577403)×R²
    abs(2.80258290-2.80181591)×0.00021383459536406×R²
    0.000766989999999801×0.00021383459536406×6371000²
    0.000766989999999801×0.00021383459536406×40589641000000     		ar = 2028329.47323922m²