Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77484 / 60064
↖ ↑ ↗
← N 14.859851°
E 32.816162°		 ← 295.15 m → N 14.859851°
E 32.818908°		 →
↑
295.23 m
↓
↑
295.23 m
↓
N 14.857196°
E 32.816162°		 ← 295.15 m →
87 138 m²		 N 14.857196°
E 32.818908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591159820556641 y=0.458255767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591159820556641 × 217)
    floor (0.591159820556641 × 131072)
    floor (77484.5)     		tx = 77484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458255767822266 × 217)
    floor (0.458255767822266 × 131072)
    floor (60064.5)     		ty = 60064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77484 / 60064 ti = "17/77484/60064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77484/60064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77484 ÷ 217
    77484 ÷ 131072     		x = 0.591156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60064 ÷ 217
    60064 ÷ 131072     		y = 0.458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591156005859375 × 2 - 1) × π
    0.18231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57275008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    0.08349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.262310714720947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57275008} λ = 0.57275008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262310714720947))-π/2
    2×atan(1.29993038719338)-π/2
    2×0.915074821315968-π/2
    1.83014964263194-1.57079632675     		φ = 0.25935332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57275008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.816162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25935332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.859851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77484 KachelY 60064 0.57275008 0.25935332 32.816162 14.859851
    Oben rechts KachelX + 1 77485 KachelY 60064 0.57279801 0.25935332 32.818908 14.859851
    Unten links KachelX 77484 KachelY + 1 60065 0.57275008 0.25930698 32.816162 14.857196
    Unten rechts KachelX + 1 77485 KachelY + 1 60065 0.57279801 0.25930698 32.818908 14.857196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25935332-0.25930698) × R
    4.63399999999781e-05 × 6371000     		dl = 295.23213999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25935332-0.25930698) × R
    4.63399999999781e-05 × 6371000     		dr = 295.23213999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57275008-0.57279801) × cos(0.25935332) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.966556024904491 × 6371000     		do = 295.149509873063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57275008-0.57279801) × cos(0.25930698) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.966567908017029 × 6371000     		du = 295.15313852443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25935332)-sin(0.25930698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966556024904491-0.966567908017029)×R²
    abs(0.57279801-0.57275008)×1.18831125377472e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.18831125377472e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.18831125377472e-05×40589641000000     		ar = 87138.1570825593m²