Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77482 / 57498
↖ ↑ ↗
← N 21.550175°
E 32.810669°		 ← 284.08 m → N 21.550175°
E 32.813416°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
N 21.547621°
E 32.810669°		 ← 284.08 m →
80 684 m²		 N 21.547621°
E 32.813416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591144561767578 y=0.438678741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591144561767578 × 217)
    floor (0.591144561767578 × 131072)
    floor (77482.5)     		tx = 77482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438678741455078 × 217)
    floor (0.438678741455078 × 131072)
    floor (57498.5)     		ty = 57498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77482 / 57498 ti = "17/77482/57498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77482/57498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77482 ÷ 217
    77482 ÷ 131072     		x = 0.591140747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57498 ÷ 217
    57498 ÷ 131072     		y = 0.438674926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591140747070312 × 2 - 1) × π
    0.182281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57265420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438674926757812 × 2 - 1) × π
    0.122650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.385316799146011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57265420} λ = 0.57265420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385316799146011))-π/2
    2×atan(1.47007996775743)-π/2
    2×0.973458920298831-π/2
    1.94691784059766-1.57079632675     		φ = 0.37612151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57265420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.810669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37612151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.550175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77482 KachelY 57498 0.57265420 0.37612151 32.810669 21.550175
    Oben rechts KachelX + 1 77483 KachelY 57498 0.57270214 0.37612151 32.813416 21.550175
    Unten links KachelX 77482 KachelY + 1 57499 0.57265420 0.37607693 32.810669 21.547621
    Unten rechts KachelX + 1 77483 KachelY + 1 57499 0.57270214 0.37607693 32.813416 21.547621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37612151-0.37607693) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dl = 284.019180000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37612151-0.37607693) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dr = 284.019180000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57265420-0.57270214) × cos(0.37612151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930096258505276 × 6371000     		do = 284.075338025019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57265420-0.57270214) × cos(0.37607693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930112632522625 × 6371000     		du = 284.080339071384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37612151)-sin(0.37607693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930096258505276-0.930112632522625)×R²
    abs(0.57270214-0.57265420)×1.63740173482196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63740173482196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63740173482196e-05×40589641000000     		ar = 80683.5547739946m²