Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77481 / 58211
↖ ↑ ↗
← N 19.717586°
E 32.807923°		 ← 287.46 m → N 19.717586°
E 32.810669°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.715000°
E 32.807923°		 ← 287.46 m →
82 633 m²		 N 19.715000°
E 32.810669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591136932373047 y=0.444118499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591136932373047 × 217)
    floor (0.591136932373047 × 131072)
    floor (77481.5)     		tx = 77481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444118499755859 × 217)
    floor (0.444118499755859 × 131072)
    floor (58211.5)     		ty = 58211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77481 / 58211 ti = "17/77481/58211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77481/58211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77481 ÷ 217
    77481 ÷ 131072     		x = 0.591133117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58211 ÷ 217
    58211 ÷ 131072     		y = 0.444114685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591133117675781 × 2 - 1) × π
    0.182266235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57260627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444114685058594 × 2 - 1) × π
    0.111770629882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.351137789716911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57260627} λ = 0.57260627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351137789716911))-π/2
    2×atan(1.42068306794402)-π/2
    2×0.957466559865057-π/2
    1.91493311973011-1.57079632675     		φ = 0.34413679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57260627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.807923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34413679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.717586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77481 KachelY 58211 0.57260627 0.34413679 32.807923 19.717586
    Oben rechts KachelX + 1 77482 KachelY 58211 0.57265420 0.34413679 32.810669 19.717586
    Unten links KachelX 77481 KachelY + 1 58212 0.57260627 0.34409167 32.807923 19.715000
    Unten rechts KachelX + 1 77482 KachelY + 1 58212 0.57265420 0.34409167 32.810669 19.715000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34413679-0.34409167) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34413679-0.34409167) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57260627-0.57265420) × cos(0.34413679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941367036711563 × 6371000     		do = 287.457749305503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57260627-0.57265420) × cos(0.34409167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941382258528691 × 6371000     		du = 287.462397470482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34413679)-sin(0.34409167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941367036711563-0.941382258528691)×R²
    abs(0.57265420-0.57260627)×1.5221817127431e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5221817127431e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5221817127431e-05×40589641000000     		ar = 82633.1347293466m²