Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77481 / 57501
↖ ↑ ↗
← N 21.542511°
E 32.807923°		 ← 284.03 m → N 21.542511°
E 32.810669°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
N 21.539956°
E 32.807923°		 ← 284.04 m →
80 689 m²		 N 21.539956°
E 32.810669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591136932373047 y=0.438701629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591136932373047 × 217)
    floor (0.591136932373047 × 131072)
    floor (77481.5)     		tx = 77481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438701629638672 × 217)
    floor (0.438701629638672 × 131072)
    floor (57501.5)     		ty = 57501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77481 / 57501 ti = "17/77481/57501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77481/57501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77481 ÷ 217
    77481 ÷ 131072     		x = 0.591133117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57501 ÷ 217
    57501 ÷ 131072     		y = 0.438697814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591133117675781 × 2 - 1) × π
    0.182266235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.57260627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438697814941406 × 2 - 1) × π
    0.122604370117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.385172988447151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57260627} λ = 0.57260627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385172988447151))-π/2
    2×atan(1.4698685697309)-π/2
    2×0.973392039636225-π/2
    1.94678407927245-1.57079632675     		φ = 0.37598775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57260627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.807923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37598775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.542511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77481 KachelY 57501 0.57260627 0.37598775 32.807923 21.542511
    Oben rechts KachelX + 1 77482 KachelY 57501 0.57265420 0.37598775 32.810669 21.542511
    Unten links KachelX 77481 KachelY + 1 57502 0.57260627 0.37594316 32.807923 21.539956
    Unten rechts KachelX + 1 77482 KachelY + 1 57502 0.57265420 0.37594316 32.810669 21.539956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37598775-0.37594316) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dl = 284.08289000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37598775-0.37594316) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dr = 284.08289000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57260627-0.57265420) × cos(0.37598775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930145382355666 × 6371000     		do = 284.031082151426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57260627-0.57265420) × cos(0.37594316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930161754498136 × 6371000     		du = 284.036081582086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37598775)-sin(0.37594316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930145382355666-0.930161754498136)×R²
    abs(0.57265420-0.57260627)×1.63721424694119e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63721424694119e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63721424694119e-05×40589641000000     		ar = 80689.0808071056m²