Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7748 / 9756
↖ ↑ ↗
← S 32.472695°
W  9.755860°		 ← 2 061.27 m → S 32.472695°
W  9.733887°		 →
↑
2 061.02 m
↓
↑
2 061.02 m
↓
S 32.491230°
W  9.755860°		 ← 2 060.84 m →
4 247 869 m²		 S 32.491230°
W  9.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472930908203125 y=0.595489501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472930908203125 × 214)
    floor (0.472930908203125 × 16384)
    floor (7748.5)     		tx = 7748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595489501953125 × 214)
    floor (0.595489501953125 × 16384)
    floor (9756.5)     		ty = 9756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7748 / 9756 ti = "14/7748/9756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7748/9756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7748 ÷ 214
    7748 ÷ 16384     		x = 0.472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9756 ÷ 214
    9756 ÷ 16384     		y = 0.595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.05419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17027187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.19091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.599786488046143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17027187} λ = -0.17027187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.599786488046143))-π/2
    2×atan(0.548928826449074)-π/2
    2×0.502020440839207-π/2
    1.00404088167841-1.57079632675     		φ = -0.56675545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17027187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.755860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56675545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.472695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7748 KachelY 9756 -0.17027187 -0.56675545 -9.755860 -32.472695
    Oben rechts KachelX + 1 7749 KachelY 9756 -0.16988837 -0.56675545 -9.733887 -32.472695
    Unten links KachelX 7748 KachelY + 1 9757 -0.17027187 -0.56707895 -9.755860 -32.491230
    Unten rechts KachelX + 1 7749 KachelY + 1 9757 -0.16988837 -0.56707895 -9.733887 -32.491230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56675545--0.56707895) × R
    0.000323499999999921 × 6371000     		dl = 2061.0184999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56675545--0.56707895) × R
    0.000323499999999921 × 6371000     		dr = 2061.0184999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17027187--0.16988837) × cos(-0.56675545) × R
    0.000383499999999981 × 0.8436474038681 × 6371000     		do = 2061.26556345164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17027187--0.16988837) × cos(-0.56707895) × R
    0.000383499999999981 × 0.843473673345181 × 6371000     		du = 2060.8410914002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56675545)-sin(-0.56707895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8436474038681-0.843473673345181)×R²
    abs(-0.16988837--0.17027187)×0.000173730522919691×R²
    0.000383499999999981×0.000173730522919691×6371000²
    0.000383499999999981×0.000173730522919691×40589641000000     		ar = 4247869.07435567m²