Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7748 / 9310
↖ ↑ ↗
← S 23.845650°
W  9.755860°		 ← 2 234.72 m → S 23.845650°
W  9.733887°		 →
↑
2 234.50 m
↓
↑
2 234.50 m
↓
S 23.865745°
W  9.755860°		 ← 2 234.37 m →
4 993 085 m²		 S 23.865745°
W  9.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472930908203125 y=0.568267822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472930908203125 × 214)
    floor (0.472930908203125 × 16384)
    floor (7748.5)     		tx = 7748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568267822265625 × 214)
    floor (0.568267822265625 × 16384)
    floor (9310.5)     		ty = 9310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7748 / 9310 ti = "14/7748/9310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7748/9310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7748 ÷ 214
    7748 ÷ 16384     		x = 0.472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9310 ÷ 214
    9310 ÷ 16384     		y = 0.5682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.05419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17027187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.428747630201782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17027187} λ = -0.17027187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.428747630201782))-π/2
    2×atan(0.651324283019068)-π/2
    2×0.577305611994317-π/2
    1.15461122398863-1.57079632675     		φ = -0.41618510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17027187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.755860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41618510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.845650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7748 KachelY 9310 -0.17027187 -0.41618510 -9.755860 -23.845650
    Oben rechts KachelX + 1 7749 KachelY 9310 -0.16988837 -0.41618510 -9.733887 -23.845650
    Unten links KachelX 7748 KachelY + 1 9311 -0.17027187 -0.41653583 -9.755860 -23.865745
    Unten rechts KachelX + 1 7749 KachelY + 1 9311 -0.16988837 -0.41653583 -9.733887 -23.865745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41618510--0.41653583) × R
    0.000350730000000021 × 6371000     		dl = 2234.50083000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41618510--0.41653583) × R
    0.000350730000000021 × 6371000     		dr = 2234.50083000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17027187--0.16988837) × cos(-0.41618510) × R
    0.000383499999999981 × 0.914637857597 × 6371000     		do = 2234.7150127527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17027187--0.16988837) × cos(-0.41653583) × R
    0.000383499999999981 × 0.914496010271302 × 6371000     		du = 2234.36844023154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41618510)-sin(-0.41653583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914637857597-0.914496010271302)×R²
    abs(-0.16988837--0.17027187)×0.000141847325698108×R²
    0.000383499999999981×0.000141847325698108×6371000²
    0.000383499999999981×0.000141847325698108×40589641000000     		ar = 4993085.39370079m²